奈氏判据

1第四节奈奎斯特稳定判据奈奎斯特（Nyquist）稳定判据（简称奈氏判据）是判断系统稳定性的又一重要方法。它是将系统的开环频率特性与复变函数位于S平面右半部的零、极点数目联系起来的一种判据。)()(jHjG)()(1)(sHsGsF奈氏判据是一种图解法，它依据的是系统的开环频率特性。2第四节奈奎斯特稳定判据一、奈奎斯特稳定判据的数学基础二、奈奎斯特轨迹及其映射三、奈奎斯特稳定判据四、奈奎斯特轨迹0v0v31.辅助函数()Gs()Hs()Rs()Cs图4－33控制系统的方框图)()(jHjG1()()0GsHs开环频率特性闭环特征方程一、奈奎斯特稳定判据的数学基础建立在复变函数理论基础上的幅角原理是奈氏判据的数学基础。设开环传递函数为11()()()()=()()mjjniiKszMsGsHsNssp()nm(4-27)取辅助函数：()()()()1()()1()()MsNsMsFsGsHsNsNs(4-28)4(3)F(s)与开环传递函数只相差常量1，的几何意义为：平面的坐标原点就是平面上的点。()()GsHs()Fs(1,0)j()FsGH*11()()()njjniiKszFssp(4-29)()()()()1()()1()()MsNsMsFsGsHsNsNs(4-28)辅助函数F(s)的特点：(1)F(s)的零点和极点分别为闭环极点、开环极点。(2)F(s)的零点、极点个数相同（n个)。5图4-34F(s)=1+G(s)H(s)关系图(1,0)j0xjy()u()jvGH()Fs06假设复变函数为单值，且除了S平面上有限的奇点外，处处都连续,也就是说在S平面上除奇点外处处解析，那么，对于S平面上的每一个解析点，在平面上必有一点（称为映射点）与之对应。)(sF)(sF)(sF2.幅角原理映射的概念：例如，当系统的开环传递函数为)1(1)()(sssHsG()1()()FsGsHs211js15.095.0)121)(21(1)21()21()(21jjjjjsF21(1)ssss7211js1()0.950.15FsjeRmI0)(1sFSF15.095.0图4-35S平面上的点在F(S）平面上的映射j2j1s's01''s1S8图4-36S和F(s)的映射关系mI)(SFeR)(1SF)(2SF)(3SF0)(bFLjS1P2P1S2S3S3P1Z2Z3Z0)(asL9NPZ设在S平面上，除有限个奇点外，为单值的连续函数，若在S平面上任选一封闭曲线，并使不通过的奇点，则S平面上的封闭曲线映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线。当解析点s按顺时针方向沿变化一周时，则在平面上，曲线按逆时针方向旋转的周数N（每旋转2弧度为一周），或按逆时针方向包围F(s)平面原点的次数，等于封闭曲线内包含F(s)的极点数P与零点数Z之差。即)(sF)(sF)(sFsLsLsLsLsLFLFLFL若N0，则按逆时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N0，则按顺时针方向绕F(s)平面坐标原点N周；若N=0，则不包围F(s)平面坐标原点。FLFLFL(4-30)10sF)(1sFmIeRFL1nz1Zj1p11PS2p11zs21ps31ps3p3z31zs1s2z21zs0sLnznp1np11*11111()()()njjniiKszFssp11111()()()nnjijiFsszsp()Fs2(2)ZP2()PZ2N1211()FsNPZ幅角原理表达式2()PZ2N2(2)ZPF(s)的零点,系统的闭环极点F(s)的极点,系统的开环极点12（a）s平面的Nyquist轨迹（c）［GH］平面的奈氏曲线图4-37（b）［F］平面的奈氏曲线二、奈奎斯特轨迹及其映射0v0FL0eRmIF()FjsLSR)1()2()3(j()()GjHjGHLmI100eRGH)()(jFsFjs)~(S平面的右半圆)(R1)()(1)(HGF13闭环系统稳定的充分必要条件是，GH平面上的奈奎斯特曲线当时，按逆时针方向包围点P周。)()(jHjG变化至由)0,1(j奈氏轨迹在GH平面上的映射称为奈奎斯特曲线或奈氏曲线.sLGHL三、奈奎斯特稳定判据应用奈氏判据分析系统稳定性时，可能会遇到下列三种情况：1.当系统开环传递函数的全部极点都位于S平面左半部时(P=0）,如果系统的奈氏曲线不包围GH平面的点（N=0），则闭环系统是稳定的(z=p-N=0），否则是不稳定的；(1,0)j)()(sHsGGHL142.当系统开环传递函数有p个位于S平面右半部的极点时，如果系统的奈氏曲线逆时针包围点的周数等于位于S平面右半部的开环极点数(N=P)，则闭环系统是稳定的(Z=P-N=0),否则是不稳定的；)()(sHsGGHL(1,0)j4.在有些情况下，曲线恰好通过GH平面的点（注意不是包围），此时如果系统无位于S平面右半部的开环极点，则系统处于临界稳定状态。(1,0)jGHL3.如果系统的奈氏曲线顺时针包围点（N0），则闭环系统不稳定。(Z=P-N0）。(1,0)jGHL15例10已知反馈控制系统的开环传递函数为1212()()(0,0,0)(1)(1)KGsHsKTTTsTs试用奈氏判据分析系统的稳定性。10K0eRmIGH图4-38例10奈氏曲线该系统稳定16当在S平面的虚轴上（包括原点）有极点时，由于奈氏轨迹不能经过开环极点，必须避开虚轴上的所有开环极点。图4-38表示当有开环极点为零时的奈氏轨迹.)()(sHsGGHLjrres0lim)22()())(()())(()()(2121vnvmpspspsszszszsksHsG图4-38虚轴上有开环极点时的奈氏轨迹四、奈奎斯特轨迹0vj000)1()2(R)3()4(0rSsLjvjvvrresnvmreseerKpspspsszszszsksHsGjrjr0lim2121limlim)())(()())(()()(0017jvjvvrreseerKsHsGjr0limlim)()(0mI000R01veR)(aGH0010R0GH2veR)(bmI图4-40时的奈氏曲线0v18例11已知反馈控制系统的开环传递函数为22()()(01)(21)KGsHssTsTs试用奈氏判据分析系统的稳定性。图4-41例11奈氏曲线稳定不稳定()102KTaN时02KT00eRGHmI1()122KTbN时12KT00eRGHmI019练习已知反馈控制系统的开环传递函数为试用奈氏判据分析系统的稳定性。1212()()(0,0,0)(1)(1)KGsHsKTTsTsTs200eRmI012()KTT1212KTTTT012121TTTKT12121TTTKT稳定不稳定12121TTTKT临界稳定21练习：知反馈控制系统的开环传递函数为)1()1()()(2TsssKsHsG试用奈氏判据分析当TTT,,解2222211)()(TKjHjGarctgarctgT0180)(时系统的稳定性.图4-42系统的奈氏曲线00mIeRGHT100010GHmIeRT)(c10mIeRT)(bGH00稳定临界稳定不稳定22第五节伯德稳定判据一、伯德图与奈奎斯特图的对应关系二、穿越的概念三、伯德稳定判据230eRmI04321()L01800001234cg图4-44奈奎斯特图及对应的伯德图一、伯德图与奈奎斯特图的对应关系剪切频率幅值穿越频率c相位穿越频率g24二、穿越的概念(1,0)j注：从开始的正或负穿越，以半次正或负穿越计算。01800180正穿越负穿越25五利用Bode图判断系统稳定性幅相曲线（-1，j0）点的左侧对数幅频特性L(w)0幅相曲线的负实轴对数相频特性的-180o(2k+1)线幅相曲线中由上向下穿越（逆时针）为正对数相频曲线中由下向上穿越-180o(2k+1)线为正幅相曲线中由下向上穿越（顺时针）为负对数相频曲线中由上向下穿越-180o(2k+1)线为负N=N+-N-N+：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由下向上穿越-180o(2k+1)线的次数；N-：幅频特性曲线零分贝线以上频率范围内，对数相频曲线由上向下穿越-180o(2k+1)线的次数；Z=P-2N26三、伯德稳定判据闭环系统稳定的充要条件是：在伯德图上，当由零变化到时，在开环对数幅频特性为正的频率范围内，开环对数相频特性对线的正穿越与负穿越次数之差为时，系统稳定：否则系统不稳定。01802P若开环传递函数中有积分环节，则由处给相频特性突加个，以虚线表示，计算正负穿越时，补上的虚线看成对数相频特性的一部分。0v09027第六节系统的相对稳定性在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题。所谓相对稳定性就是指稳定系统的稳定状态距离不稳定(或临界稳定)状态的程度。反映这种稳定程度的指标就是稳定裕度。一、相对稳定性对于最小相位的开环系统，稳定裕度就是系统开环极坐标曲线距离实轴上点的远近程度。这个距离越远，稳定裕度越大，系统的稳定程度越高。(1,0)j28mI000GHeR)(a1AAmI000GHeRBB1)(b图4-45系统的相对稳定性稳定裕度的表示:相位裕度和幅值裕度。h29二、稳定裕度001h正相角裕度正相角裕度)(amIeR)(cGH1hg011110c001h负相角裕度负相角裕度)(b)(c0111g01h1mIeRcGH图4－46最小相位系统的稳定裕度301.相角裕度指幅值穿越频率所对应的相移与－1800角的差值，即)(c00180)()180()(cc(4-30)对于最小相位系统，如果相角裕度，系统是稳定的，且值愈大，系统的相对稳定性愈好。如果相角裕度，系统则不稳定。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，系统处于临界稳定状态。000000(1,0)j使系统达到临界稳定状态时的开环频率特性的相角减小（对应稳定系统）或增加（对应不稳定系统）的数值。()c相角裕度的含义312.幅值裕度h指相位穿越频率所对应的开环幅频特性的倒数值，即11()()()ggghAGjHj对于最小相位系统，当幅值裕度，系统是稳定的，且值愈大,系统的相对稳定性愈好。如果幅值裕度，系统则不稳定。当时，系统的开环频率特性曲线穿过点，是临界稳定状态。(()()1)ggGjHj1h(()()1)ggGjHj