几个初等函数的麦克劳林公式(精)

YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立机动目录上页下页返回结束三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式第三章YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY特点:)(0xf)(0xf一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfyo))(()(000xxxfxf以直代曲0x)(1xp在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?xx的一次多项式机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY1.求n次近似多项式要求:)(0!212xpan,)(0xf,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0xf))((00xxxf!21!1nnnxxxf))((00)(!1n200))((xxxf!21机动目录上页下页返回结束令)(xpn则)(xpn)(xpnnan!)()(xpnn)(00xpan,)(0xf)(01xpan,)(0xf1a)(202xxa10)(nnxxan2!2a20)()1(nnxxann0annxxaxxaxxa)()()(020201()(nf)0xYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY)0(之间与在nx)()(10nnxxxR)(2)1()(0)(xnRnnnn2.余项估计)()()(xpxfxRnn令(称为余项),)(0xRn)(0xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR))(1()(011))(1()(011nnxnR1022)()1()(nnxnnR!)1()()1(nRnn则有)(0xRn0)(0xRn0)(0)(xRnn0x)01(之间与在xx)102(之间与在x机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY)()()(xpxfxRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)()1(0)0(之间与在xx10!)1()(nnxxnMxR)())(()(00xxxxoxRnn机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn①其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR②则当)0(之间与在xx泰勒目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(])[(0nxxo])[()(0nnxxoxR注意到③④*可以证明:④式成立机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为)(xf)(0xf))((0xxf(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0xf))((00xxxf20)(!2)(xxf可见误差)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY称为麦克劳林（Maclaurin）公式.,)10(,00xx则有)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0xf))((00xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0(,)()1(Mxfn则有误差估计式1!)1()(nnxnMxR2!2)0(xfnnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林目录上页下页返回结束由此得近似公式YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY二、几个初等函数的麦克劳林公式,)()(xkexf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY)sin(x)()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)cos()1(xm机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY!)2(2mxm类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2)1(!n)1()1(n机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n类似可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差1!)1()(nnxnMxRM为)()1(xfn在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.)(xf)0(fxf)0(2!2)0(xfnnxnf!)0()(机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY已知例1.计算无理数e的近似值,使误差不超过解:令x=1,得)10(!)1(!1!2111nen)10(由于,30ee欲使)1(nR!)1(3n610由计算可知当n=9时上式成立,因此e!91!2111718281.2xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后6位,则各项舍入误差之和不超过,105.076总误差为6105.076106105这时得到的近似值不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.e!91!2111机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY例2.用近似公式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解:近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005.0244x解得588.0x即当588.0x时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY2.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于x431243x2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必塔法则不方便!2x用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(机动目录上页下页返回结束x34220limxx原式)(2216921xox329x43)(2216941xox2x43)(2216941xoxYANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(3.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY内容小结1.泰勒公式其中余项))((0nxxo当00x时为麦克劳林公式.)(0xf))((00xxxf200)(!2)(xxxfnnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx机动目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY2.常用函数的麦克劳林公式(P140~P142),xe,)1ln(x,sinx,cosx)1(x3.泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式等.(2)利用多项式逼近函数,xsin例如例如目录上页下页返回结束YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY思考与练习计算)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270xxoxx解:原式第四节目录上页下页返回结束作业P1431;4;5;7;8;10(1),(2)YANGZHOUUNIVERSITYYANGZHOUUNIVERSITY,]1,0[)(上具有三阶连续导数在设函数xf,0)(,2)1(,1)0(21fff.24)(,f使一点)(xf)(21之间与在其中x由题设对证:备用题1.321))((!31xf)(21f221)(x)(!2121f有)(21f221)(x)(!2121f321))