2.4 连续型随机变量

一、概率密度的概念与性质二、常见连续型随机变量的分布§2.4连续型随机变量一、概率密度的概念与性质定义()()d,xFxfttx设F(x)是随机变量X的分布函数,如果存在定义在(,+)上的非负实函数f(x),使得则称X为连续型随机变量,f(x)为X的概率密度函数.xo)(xfx【注】反之不正确,F(x)连续X是连续型随机变量.①只有连续型随机变量才有概率密度。②f(x)是可积的。③连续型随机变量的F(x)是连续的。性质;0)()1(xf;1d)()2(xxf证明：1()()d.Ffxxxo)(xf1()d1Sfxx阴【注】性质(1),(2)是判定一个函数f(x)是否为某随机变量X的概率密度函数的充要条件.此性质常用来求密度函数中的未知量).()(,)()4(xfxFxxf则有处连续在点若)(}{aFaXP,d)(xxfa}{1}{aXPaXPxxfxxfad)(d)()(1aF.d)(xxfa同时得以下计算公式)()(}{)3(1221xFxFxXxP;d)(21xxfxxxxfxd)(2证明：.d)(21xxfxx)()(}{1221xFxFxXxPxxfxd)(1xo)(xf1S1x2x原因：连续函数的积分上限函数可导。00()(){}()limlimxxFxxFxPxXxxfxxx【注】(1)由性质4知在连续点处有：()fxx由上式知,若不计高阶无穷小,有{}()PxXxxfxx即X落在小区间上的概率近似等于(,]xxx().fxx(2)概率密度f(x)的意义：概率密度不是概率，它刻划了随机变量在f(x)的连续点附近取值的概率的大小.(3)连续型随机变量取任意实数a的概率等于零，即.0}{aXP证明}{aXP.0=F(a)-F(a-0)21)()()(}{}{}{}{1221212121xxdxxfxFxFxXxPxXxPxXxPxXxP(4)区间的开、闭不影响连续型随机变量X落入该区间的概率.}.271{)3(;)2(;)1(.,0,43,22,30,)(XPXkxxxkxxfX求的分布函数求确定常数其它具有概率密度随机变量设解,1d)()1(xxf由例1,1d)22(d3043xxxkx得.61k解之得的概率密度为知由Xk61)2(.4,1,43,d)22(d6,30,d6,0,0)(3030xxxxxxxxxxxFxx得由xxxfxFd)()(,03,62,34,20,xxxx其他f(x)=.4,1,43,423,30,12,0,0)(22xxxxxxxxF即}271{)3(XP)1()27(FF.4841例2已知连续性随机变量X的分布函数为0,0,(),01,1,1,xxFxabexx13{};22PX求：(1)常数a,b;(2)(3)X的概率密度。解:(1)由F(x)的连续性有:(0)(0)FF0==a+b(1)(1)FF1==a+be1,1ae1.1be(2)1331{}()-().2222PXFF(3)当x0,x1时,()()'0;fxFx当0x1时,()()'()'.1xxefxFxabeex,01,()10,.exfxe其他故1,均匀分布3,正态分布(或高斯分布)2,指数分布【学习要求】熟练掌握上述分布的定义、背景。二、常见连续型随机变量的分布1.均匀分布1,,()0,,(,),~(,).XaxbfxbaXabXUab定义设连续型随机变量具有概率密度其它则称在区间上服从均匀分布记为xo)(xfab概率密度函数图形【注】(1)合理性；(2)“均匀”的意义在于随机变量X在[a,b]的任意子区间[c,c+l]上取值的概率只决定于子区间的长度l，而与子区间所在的位置c无关。事实上，11{}|()clclccxlPcXcldxclcbabababa(3)均匀分布的背景是一维几何概型。.,1,,,,0)(bxbxaabaxaxxF分布函数xo)(xFab1例3某公共汽车站从上午7:00到8:00每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：以7:00为起点0，以分为单位依题意，X～U(0,30)1,030()300,xfx其它{0}{1015}{2530}PXPXPX所求的概率为0551.3030303【注】若随机变量X～U(a,b),则X落在某区间内的概率为此区间在(a,b)内的长度与(a,b)长度之比。例4设随机变量X~U(2,5),,现对X进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.3XP,323153dxX的概率密度函数为.,0,52,31)(其它xxf解“X的观测值大于3”的概率,2YP.2720因而有设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,则.32,3~bY32132223C033332132C.,0.0,0,0,e1)(分布的指数服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义XθxxθxfXθx2.指数分布合理性某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布.应用与背景分布函数1e,0,()0,0.xθxFxx例5设某类日光灯管的使用寿命X服从参数为的指数分布（单位:小时）2000(1)任取一只这种灯管,求能正常使用2000小时以上的概率.(2)有一只这种灯管已经正常使用了1000小时以上,求还能使用2000小时以上的概率..0,0,0,1)(20001xxexFx解X的分布函数为2000)1(XP20001XP)2000(1F1e10003000)2(XXP10001000,3000XPXXP10003000XPXP1000130001XPXP)1000(1)3000(1FF1e补充：指数分布“无记忆性”，即对任意s,t0有{|}{}.PXstXsPXt{()}{}PXstPXs=1()1()FstFs()///{}sttseepXte事实上{()()}{}PXstXsPXs={|}PXstXs指数分布是唯一具有“无记忆性”的连续型随机变量.).,(~,,,)0(,,,eπ21)(22)(22σμNXσμXσσμxσxfXσμx记为的正态分布或高斯分布服从参数为则称为常数其中的概率密度为设连续型随机变量定义3.正态分布(或高斯分布)合理性(1)()0;fx22()21(2)()1.2xfxdxedx令,xt则221().2tfxdxedt令22,tIedt2222,tuIedtdu用极坐标变换化二重积分为累次积分：cos,sin,trur222200()2,rIredrd1所以222,tedt证明：正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差,人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景正态分布概率密度函数的几何特征(钟形曲线);)1(对称曲线关于μx;π21)(,)2(σxfμx取得最大值时当特别地，P{-xX}=P{X＋x}.1{}{}.2PXPX对称性是正态分布的一个重要性质。5.0)(F例设随机变量，且，求概率P{X0}.),3(~2NX4.0}63{XP解}30{}0{}3{5.0)3(XPXPXPF}63{}0{XPXP1.04.05.0}0{XP(对称性);)4(处有拐点曲线在σμx(5)当固定,改变的大小时,f(x)图形的形状不变,只是沿着x轴作平移变换；称为位置参数。;0)(,)3(xfx时当曲线以x轴为渐近线。(6),,(),,,,,μσfxσσσ当固定改变的大小时图形的对称轴不变而形状在改变越小图形越高越瘦越大图形越矮越胖,称为形状参数。正态分布的分布函数tσxFxσμtdeπ21)(222)(正态分布下的概率计算tσxFxσμtdeπ21)(222)(}{xXP?被积函数不是初等函数方法:转化为标准正态分布查表计算).1,0(,,1,0),(2NσμσμN记为态分布的正态分布称为标准正这样时中的当正态分布标准正态分布的概率密度表示为,,eπ21)(22xxx标准正态分布特征:1.(x)关于y轴对称,是偶函数,即()().xx2.在x=0处取到最大值1.23.在x=1处为拐点.标准正态分布的分布函数表示为.,deπ21)(22xtxxt性质：).(1)(xxxxxxdeπ21)(22xxxdeπ2122xxdeπ2122xxxdeπ2122).(1x证明标准正态分布的分布函数表(0.51)=P{X0.51}=?(-0.51)=?(3.9)=?(0)=?(0)=1/2).1,0(~),,(~2NσμXZσμNX则若引理证明:的分布函数为σμXZ}{xZPxσμXP}{σxμXP,deπ21222)(σxμσμttσ得令,uσμt}{xZPxuudeπ2122),(x).1,0(~NσμXZ故()()PaXbFbFaba所以x成则它的分布函数可以写若于是，),,(~2NX}{}{)(xXPxXPxF例6(1)设随机变量X～N(1,4),求{02.08};PX2(,),N{5}0.045,PX2{3}0.618,,;PX试求(2)设随机变量X～且解:(1)1,2,0112.081{02.08}{}2221{0.50.54}2(0.54)(0.5)(0.54)1(0.5)0.3969.XPXPXP5(2){5}{}0.045,XPXP55()1()0.955,33{3}{}()0.618,XPXP查表得51.7,30.3,1.8,4.3准则：2~(,),()XNx设由的函数表得到：{}(1)(1)2(1)10.6826,PX{22}(2)(2)0.9544,PX{33}(3)(3)0.9974.PX结论:虽然正态变量的取值是整个实数轴,但它的值落在内几乎是肯定的事,这就是人们所说的(3,3)