自动控制原理 矿大05第五章 频率响应法1 (4)

15.5频域稳定判据（奈氏判据）（1）根据闭环系统的开环频率特性去判断闭环系统稳定性的一种判据，当系统含某些非最小相位环节(如延迟环节)也能判据。（2）该判据可以通过实验法获得系统开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，使用方便。（3）该判据能指出提高和改善系统动态性能的途径(环节类型和参数变化)，因而这种方法在工程上获得广泛的应用。奈氏判据特点（优点）：2幅角原理(复变函数)设控制系统的特征多项式：若D(S)有P个根位于S平面的右半平面，n-P个根位于S左半平面,当频率由－变化到时，幅角增量：)2()()(argPnPPnjDoj)(pnp逆时针旋转为正顺时针旋转为负）在复平面旋转（PnjD2)()())(()(21npjpjpjjD＝)())(()(21npspspssD＝3奈奎斯特稳定性判据C(s)R(s)G(s)H(s)开环传递函数开环特征方程式12012()()()()()()onDsDsDsaspspsp其中：开环传递函数的极点。,1,2,,ipin闭环传递函数211212()()()()1()()()()()()DsNsGssGsHsDsDsNsNs闭环系统的特征方程式1212012()()()()()()()()cnDsDsDsNsNsCssssss其中：闭环传递函数的极点。,1,2,,isin)()()()()()(2211SDSNSDSNSHSG4引入辅助函数F(s),其定义为121212()()()()()1()()()()DsDsNsNsFsGsHsDsDs012012()()()()()()()()ncnoCssssssDsaspspspDs辅助函数F(S)是闭环（分母）特征多项式Dc(S)和开环（分母）特征多项式Do(S)之比由复变函数理论可知()[1()()]argargFjGjHj()()argargcoDjDj5(1)开环传递函数和闭环传递函数均不存在右半平面的极点()()()0argargargcoFjDjDjnn幅角原理:（2）开环传递函数在s右半平面有P个极点闭环传递函数在s右半平面有Z个极点()()()argargargcoFjDjDj上式表明曲线绕坐标原点逆时针旋转圈。()Fj()()GjHj曲线绕(－1,j0)逆时针旋转圈。)2()(argPnjD22)()2()2(RZPPnZnRR()1()()FjGjHj(0,j0)点即RZP6ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHjG)()(jHjG1平面GH曲线对原点的包围圈数R，恰等于)()(jGjH)()(1jGjH曲线对(-1,j0)点的包围圈数R图形向左平移1＝0～＝0～＝－～7oj平面SjeS＝jeS＝00o]Re[GH平面GH0]Im[GH-100je)12)(1(2)(SSSSG0P开环闭环2Zje30直线曲线大园原点小园大园RZP顺时针旋转为负根平面映射8当时，则有由0令则2PZN()()GjHj曲线绕(-1,j0)点逆时针旋转圈。N所以，当由时0结论：开环传递函数在S右半平面有P个极点闭环传递函数在S右半平面有Z个极点曲线绕(-1,j0)点逆时针旋转圈数为N＝0～，Z=P-2N当Z=0时，则闭环系统是稳定的。P=2N闭环系统在S右半平面上无极点2)2()(arg0ZPjFRNZP222)(RZP)(argjFRZP关于实轴对称9开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数，仅仅与幅相曲线ReIm0-1++--N的确定方法穿越实轴区间(-,-1)的次数有关。把自上向下(逆时针)穿越这个区间的次数表示为N把自下向上(顺时针)穿越这个区间的次数表示为N幅相曲线在负实轴(-.-1)区间的正负穿越如图所示右图中2N2N220NNN注意：若穿越时从这个区间的实轴上开始时记为半次正(半次负)穿越。10稳定性分析举例(1)开环传递函数不含积分环节（0型系统）直接采用Z=P-2N的稳定性判据例5.9给出来三个开环传递函数不含有积分环节的奈氏曲线，试判断系统的稳定性。ReIm00-1KP=0,N=0Z=P-2N=0该闭环系统稳定。（a）P＝0奈氏曲线)1)(1()(21STSTKSGa11ReIm00-1K(b)P=0,Z=P-2N=2闭环系统不稳定。ReIm00-1K(c)P=1,Z=P-2N=0闭环系统稳定。奈氏曲线图)1)(1)(1()(321STSTSTKSGb)1()(TSKSGc110NNN21210NNN12(2)开环传递函数含ν个积分环节ν型系统绘制开环幅相曲线后，应从频率0+对应的点开始，逆时针补画ν/4个半径无穷大的圆。ReIm00-10(a)ν=1,从0补画半径为无穷大的1/4园。P=0,N=0Z=0所以，闭环系统稳定。例5.10给出含有1个积分环节的开环系统幅相曲线，试判断系统的稳定性。点逆时针奈氏曲线图)1()(TSSKSGa－900ν13ReIm00-10P=0,N=0Z=0(b)由于ν＝2，从点逆时针0补画半径为无穷大的半园。例5.11给出含有两个积分环节的开环系统幅相曲线，试判断系统的稳定性。所以，闭环系统稳定。2)1()(STSKSGb奈氏曲线图14ReIm00-10＝P=0,N=-1Z=2该闭环不系统稳定。P=1,N=-1/2，Z=1-2(-1/2)=2虚线的终端落在负实轴上该闭环系统不稳定。ReIm000＝)1()(2TSSKSGc)1(10)(TSSSGd(c)由于ν＝2，从点逆时针0补画半径为无穷大的半园。奈氏曲线图非最小相位系统(d)ν=1,从点逆时针0补画半径为无穷大的1/4园。NNN？15ReIm00K(-1,0j)jejTjKjG0)1()(011)(20KA00101803.5790tg临界稳定条件：，时或当00KK例5.12开环传递函数串联延迟环节的稳定性分析该系统不稳定16练习题1ReIm0(-1,0j)0)(jG)12)(1()(jjjKjG1211)(22KA0110180290tgtg临界稳定条件方法1：5.123,707.022＝ksradc)()()()(jIReAjGj0)(I1)(－R临界稳定条件方法2：G(j)幅相曲线穿越负实轴(－1,0j)点17开环传递函数串联延迟环节的稳定性分析jejjG12)(ReIm00K(-1,0j)112)(2A011803.57tg临界稳定条件：求得：321.13323)(3.573)3180(1803.573331001tgtg练习题218ReIm0-10.5-1.5-2abc0例5.13已知最小相位系统的幅相频特性曲线，该曲线与实轴的交点为a、b、c点，相应三点的频率为试确定开环增益K的稳定范围。cba、、K减小aabbccKKKKKK，增大到临界稳定值，减少到临界稳定值，减少到临界稳定值解：稳定范围：abcKKKKKabcKKK0032025.0KKK)1)(1()1()(21jTjTjjKjG0KK19ReIm0-1-0.5-1.5-2abc0ReIm0-1-0.5-1.5-2abc0-3-4(A)aKK(B)bcKKKReIm0-1-0.5-1.5-2abc0ReIm0-10.5-1.5-2abc0(C)abKKK(D)0cKK203在对数坐标图上应用奈奎斯特稳定性判据ReIm00-1ABC1)()(jHjG1)()(jHjGc124100.420040-20-40-90-180-270201004010002004000.1dBGHLlg20)(sradlgsradlg0)(ccba02ZPNNNN21——在对数幅频特性曲线是0分贝线以上的区域内，对数相频特性曲线由上向下穿越-1800线的次数。对数频率特性稳定性判据与直角系上奈奎斯特稳定性判据本质是相同的，仍然采用公式为2ZPN对应于对数幅频特性曲线是0分贝线以上的区域，幅相曲线自上向下(逆时针)穿越为正穿越，对应于对数相频特性曲线由下向上穿越-1800线为正穿越。计算穿越次数的公式NNNN——在对数幅频特性曲线是0分贝线以上的区域内，对数相频特性曲线由下向上穿越-1800线的次数。N若系统的开环传递函数含有积分环节，在对数相频率特性曲线的为0+的地方，由下向上补画一条虚线，该虚线通过相位为2