自动控制原理 第五章 频率响应法 胡寿松第六版

第五章频率响应法5.1频率特性5.2典型环节和开环频率特性5.3奈奎斯特判据5.4稳定裕度5.5闭环频率特性EndA(ω)称幅频特性，φ(ω)称相频特性。二者统称为频率特性。基本概念（物理意义）5.1频率特性5.25.35.45.5tsinA)t(rr频率特性的概念(P187)设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦，Ar=1ω=0.5ω=1ω=2ω=2.5ω=440不结论给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。输入输出输入输出决然不同的输入，为什么尽会得到如此相似的输出!？1111)()()(11TssCRsUsUsGrc22ωsAω(s)U,则tASin设urr2211)(sATssUo)(11)(22/220TarctgtSinTAeTtAtuTt)(122TarctgtSinTA稳态分量TarctgTA)(,1/1)(22根据定义jsTjarctgTsTjeT11111122频率特性写成一个式子数学本质R1C1i1(t)在一般情况下,传递函数可以写成如下形式:)())(()()()()(21nsssssssMsNsMsG式中:s1,s2,…sn—是G(s)的极点,它们可能是实数,也可能是共轭复数.对于稳定系统来说,它们都具有负实部.于是,系统输出信号的拉氏变换为:))(()())(()()()()(21jsjsAsssssssMsXsGsYn上式可以分解成如下形式的部分分式:nnssassassajsbjsbsY2211)(式中:a1,a2,…an—待定系数（留数）;b,—待定的共轭复数.b求拉氏反变换,便得到系统的输出信号y(t),即系统对正弦输入的响应是:tsntststjtjneaeaeaebbety2121)(tjtjsebbety)(对于稳定系统来说,由于极点s1,s2,…sn都具有负实部,因此,当t→∞时,其相应的指数项都将衰减为零.因此,系统的稳态输出为:tststsneee,,,21式中的待定系数b,可按求留数的方法求得:bjAjGjsjsjsAsGbjs2)()())(()(jAjGjsjsjsAsGbjs2)()())(()()()()(1jGRjGItgjGem式中:由于G(j)是一个复数,它可以表示为:jejGjG)()(同理,G(-j)也可以表示为:jjejGejGjG)()()(有:tjjtjjseejGjAeejGjAty)(2)(2)()sin()sin()(2)()()(tYtjGAjeeAjGtjtj)(jGAY式中:—稳态输出的幅值,是的函数.由此可知:线性定常系统对正弦输入信号Asint的稳态输出Ysin(t+),仍是一个正弦信号.其特点是:①.频率与输入信号相同;③.相移为=∠G(j).振幅Y和相移都是输入信号频率的函数,对于确定的值来说,振幅Y和相移都将是常量.②.振幅Y为输入振幅A的倍;)(jGa)函数图b)向量图AYAYx(t)ys(t)ys(t)tx(t)0输入、输出关系也可以用函数图和向量图表示如下:AYjG)(正弦输出对正弦输入的幅值比—幅频特性)(jG正弦输出对正弦输入的相移—相频特性频率特性的定义ReIm0幅频特性及相频特性∠G(j)统称为频率特性,记为:)(jG这就是说,G(j)是在s=j特定情况下的传递函数.通过它来描述系统的性能,与用传递函数描述时具有同样的效果,即两者所包含的系统动态特性的信息完全相同.在实际计算时,令传递函数G(s)中的s=j,即可得到频率特性G(j).即jssGjG)()(理论上可将频率特性的概念推广的不稳定系统.但是,系统不稳定时,瞬态分量不可能消失,它和稳态分量始终同时存在.所以,不稳定系统的频率特性是观察不到的.)()()(jGjejGjG幅相曲线：对于一个确定的频率，必有一个幅频特性的幅值和一个幅频特性的相角与之对应，幅值与相角在复平面上代表一个向量。当频率ω从零变化到无穷时，相应向量的矢端就描绘出一条曲线。这条曲线就是幅相频率特性曲线，简称幅相曲线。•常用于描述频率特性的几种曲线RC网络为例,传递函数为11)(TssG频率特性为TjjseTTjsGjG1tan221111)()(•幅频特性曲线：对数幅频特性曲线又称为伯德图（曲线）。•对数分度优点：扩大频带、化幅值乘除为加减、易作近似幅频特性曲线图。db1101001000020406011010010000/2-/2-Bode图的坐标系对数频率特性曲线的横坐标是频率,并按对数分度(lgomega),单位是[rad/s].对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值,线性分度,单位是[dB].此坐标系称为半对数坐标系。频率特性G(j)的对数幅频特性定义如下)(lg20)(jGL对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值,线性分度,单位是(0)或(弧度).时的对数幅频和对数相频曲线.5.0,)1/(1)(TTjjG对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）：其特点是纵、横坐标都线性分度，对数幅相图的横坐标表示对数相频特性的相角，纵坐标表示对数幅频特性的幅值的分贝数。典型环节sssKsssKsG1.0111)21()1.01()21()(:例nnnnmmmmasasasabsbsbsbsHSG11101110)()(5.2典型环节和开环频率特性5.2.1幅相曲线和对数幅频特性、相频特性的绘制5.15.35.45.55.2.35.2.2①比例环节;K②惯性环节;0,)1(1TTs式中③一阶微分环节;0,)1(TTs式中④积分环节;1s⑤微分环节;s⑥振荡环节;10,0,)12/(122nnnss式中⑦二阶微分环节.10,0,)12(22nnnss式中比例环节的频率特性是G(jω)=K,幅相曲线如下左图。kj0图5.3比例环节K的幅相曲线·比例环节0020lgK(dB)(o)ωω111010图5.4比例环节的对数频率特性曲线比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别是：L(ω)=20lg|G(jω)|=20lgK和φ(ω)=0相应曲线如上右图。积分环节的对数幅频特性是L(ω)=-20lgω,而相频特性是φ(ω)=-90o。直线和零分贝线交于=1地方.211)(,1)(jjGssG积分环节图5.61/jω和jω的对数坐标图ωjω1/jω0.1(dB)jω110020-2020dB/dec-20dB/dec1/jω(o)90-9000.1110ω∠jω∠1/jωjωω=00图5.7微分环节幅相曲线0ω图5.5积分环节的幅相曲线j微分环节G(s)=s和G(jω)=jω=ω∠π/2L(ω)=20lgω,而相频特性是φ(ω)=90o。ω1/T,L(ω)≈-20lg1=0ω1/T,L(ω)≈-20lgωT=-20(lgω-lg1/T)一阶微分环节G(s)=Ts+1G(s)=1/(Ts+1),TjarctgeTTjjG221111)(频率特性221lg20)(TLT-arctg)(221lg20)(TLTarctg)(惯性环节ω0.1(dB)110020-2020dB/dec-20dB/dec1/T图5.91+jT和1/(1+jT)的对数坐标图(o)90-9000.1110ω-1/Tj0(a)θjω+1/T图5.8惯性环节极点—零点图(a)和幅相曲线(b)ω=0j0ω=∞-45oω=1/T(b)Kω1/T,L(ω)≈20lg1=0ω1/T,L(ω)≈20lgωT=20(lgω-lg1/T)频率omega=1/T为交接频率振荡环节TjarctgeTTjjG2211)(频率特性jω-1/T0(a)jω+1/Tω=0j0ω1(b)图5.10一阶微分环节的极点—零点图(a)和幅相曲线(b)振荡环节的频率特性为jsdndnnjsnnnjsjssjG))((2)(2222式中为阻尼振荡频率.极点-零点分布如图所示.幅频特性和相频特性的图解计算式分别为21nd212)()(jGBPAPjGn和因而1800)(01)0(jGjGnnjjG211)(22ojG01)(,0onjG9021)(,ojG1800)(,G(s)=1/[(s/ωn)2+2ζs/ωn+1]图5.11振荡环节的幅相曲线故振荡环节的福相曲线从实轴上(1,j0)开始,最后在第三象限和负实轴相切并交于原点,如图所示.幅频特性和相频特性的解析式分别为2222224)1(1)(nnjG时时1,12tan1,12tan)(222211nnnnnnjG根据上式可计算频率特性,并绘制福相曲线,如上图所示.图上以无因次频率为参变量.由图可见,无论多大,u=1(即)时,相角都等于-900;幅频特性的最大值随减小而增大,其值可能大于1.nun幅频特性表达式(5-34)也即22224)1(1)(uujuG与u的关系曲线见下图.由曲线可见,小于某个值时,幅频特性出现谐振峰值,峰值对应的频率称为谐振频率,叫做无因次谐振频率,ur随减小而增大,最终趋于1.将上式对u求导并令它等于零,可得)(juGnrru)220(212ru)220(121)(2maxjuGMr将方程(5-37)代入(5-36),求得谐振峰值为曲线如下图左所示,曲线见下图右.rMru无因次阻尼振荡频率21nddu曲线如图所示.du将时域和频域间的关系联系了起来.由图可见,Mr和h(tp)密切相关:Mr大,h(tp)就大;反之亦然.因而Mr直接表征了超调量的大小,故称之为振荡性指标.图表明了谐振频率和阻尼振荡频率d间的关系.为了将振荡环节的幅频特性和单位阶跃响应联系起来,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线重画在图上,与单位阶跃响应曲线峰值间的关系如图所示.)(pth•ωωn时L(ω)≈0•ωωn时L(ω)≈-40lgω/ωn=-40(lgω-lgωn)22222)/(4)/1(lg20)(nnL2)/(1/2)(nnarctg10110图5.12振荡环节的对数坐标图ω/ωn0.1(dB)1040-2040dB/dec-40dB/dec(o)180-18000.1ω/ωn20当时n0)(L因此低频渐近线是零分贝线.而当时nnLlg40)(这是一条斜率为-40dB/dec的直线,和零分贝线交于的地方.故振荡环节的交接频率为n.n以上得到的两条渐近线都与阻尼比无关.实际上,幅频特性在谐振频率处有峰值,峰值大小取决于阻尼比,这一特点也必然反映在对数幅频曲线上.用渐近线表示对数幅频曲线时存在的误差大小,不仅和而且也和有关.误差计算公式是nnnL2222)2()1(lg20),(