自动控制原理 邹伯敏 第二章

2020/1/21第二章控制系统的数学模型1第二章控制系统的数学模型作者：浙江大学邹伯敏教授自动控制理论普通高等教育“九五”部级重点教材2020/1/21第二章控制系统的数学模型2描述系统运动的数学模型自动控制理论状态变量描述状态方程是这种描述的最基本形式建立系统数学模型的方法实验法解析法输入－输出描述微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图等其它模型均由它而导出2020/1/21第二章控制系统的数学模型3第一节列写系统微分方程的一般方法用解析法建立系统微分方程的一般步骤自动控制理论根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式图2-1Ｒ-L-C电路例2-1求Uc与Ur的微分方程式解：由基尔霍夫定律得dtduCiidtCuuudtdiliRccrc即,1rcccuudtduRCdtudLC22消去中间变量，则有:i2020/1/21第二章控制系统的数学模型4自动控制理论图2-2R-C滤波网络例2-2.试写出图2-2电路的微分方程解由基尔霍夫定律列出下列方程组crudtiCdtiiCRidtiCuRidtiiC222112222112111)(11)(11ircccuudtduCRCRCRdtudCCRR212211222121消去中间变量i1、i2得或写作rcccuudtduTTTdtudTT32122122020/1/21第二章控制系统的数学模型5自动控制理论例2-3.求外力F(t)与质量块m位移ｙ(t)之间的微分方程解由牛顿第二定律列出方程图2-3弹簧-质量-阻尼器系统22)()()()(dttydmdttdyftkytF即)()()()(22tFtkydttdyfdttydm式中，ｆ——为阻尼第数；ｋ——为弹簧的弹性系数。ky(t)——弹性拉力dtdyf——阻尼器阻力2020/1/21第二章控制系统的数学模型6自动控制理论例2-4.试写出图2-4所示直流调速系统的微分方程式图2-5G-M直流调速系统的框图图2-4G-M直流调速系统原理图2020/1/21第二章控制系统的数学模型7自动控制理论列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入－输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式放大器图2-6直流他励发电机电路图11Kuue(2-4)写微分方程式的一般步骤：2020/1/21第二章控制系统的数学模型8自动控制理论直流他励发电机由电机学原理得：图2-7直流他励电动机电路图把式（2-6）代入（2-5），则得BBGBBiCLiCCEURidtdiL2111（2-5）（2-6）12UKEdtdEτGGG（2-7）RLCKRLG12;式中假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲线为一直线，即Φ/ib=L。2020/1/21第二章控制系统的数学模型9自动控制理论直流他励电动机被控制量是电动机的转速n控制量：发电机的电动势EG和负载转矩TL。由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得）9-2（1820375）8-2（1375002222为电动机的空载转速）（便蜕化为稳态时，式时，电动机空载运行至当常数称为电动机的电气时间常数；称为电动机的机电时间式中，求得和变量消去上述方程中的中间nECnTRLCRGDdtdTTCCRECndtdndtnd，iTiCTdtdnGDTTEnCdtdiLRiGeLaumLaLueGemamaeaueLeGeaa2020/1/21第二章控制系统的数学模型10输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压Ufn，假设测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与n成线性关系即有经消元后得输出量,动机的转速n为系统的电(扰动),和负载转矩T是经定电压u引起系统运动的输入量而Lg11)-(2u-uu10)-(2anufngefn测速发电机12)-(21222233TdtdTTτdtTdττCCRUCKnCKadtdnττdtndτττdtndτττLLGaLaGuegeemGGamGammG21RRR,KKK,式中自动控制理论2020/1/21第二章控制系统的数学模型11自动控制理论第二节非线性数学模型的线性化非线性数学模型线性化的假设变量对于平衡工作点的偏离较非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在微偏法在给定工作点领域将此非线性函数展开泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。设一非线性元件的输入为x、输出为y，它们间的关系如图2-9所示，相应的数学表达式为图2-9非线性特性的线性化y=f(x)（2-13）2020/1/21第二章控制系统的数学模型12自动控制理论在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数20220000!21xxdxfdxxdxdfxfxfyxxxx00000,,0xxxyyydxdfKxfyxKyxxKyyxx，式中或写为，于是得线性化方程其后面的所有的高阶项项及）x（x较小，故可略去式中的xx由于增量Δx2002020/1/21第二章控制系统的数学模型13自动控制理论举例上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-10所示。设发电机原工作于磁化曲线的A点，若发电机的励磁电压增加△U1，求其增量电势△EG的变化规律。图2-10发电机的磁化曲线16-215-2010100CEuRiGB若励磁电压增量，则有1u如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离就较小，这样就可通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲线EAF。在平衡点A处，直流电机的方程为）（）（18-2)(17-2)(0101010CEEuudtdNRiiGGBB2020/1/21第二章控制系统的数学模型14自动控制理论由式（2-17）减式（2-15），式（2-17）减式（2-15）后得）（）（20-219-211CEudtdNRiGB式（2-19）、（2-20）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到△u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。式中N为励磁绕组的匝数。示。常量，故用反电动势表dΔidΔθ而，磁化曲线不是一条直线表示，其原因是那一段dtdΔθ而用N，dtdΔiL19）中之所以不写作-式（2这里需要注意的是，在BB2020/1/21第二章控制系统的数学模型15自动控制理论01202G10000200000CCNL24-2CE23-2RRNR22-2-,21)-(2-f2!1-BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBififiudtidLidtididdNidtdiifiddiifiiiifiiiiiififif，）（）（式中10）可写为-19）和式（2-于是式（2常数或写作21）便简化为-，则式（2项，并令项及其后面所有的高阶i-i略去上式中处展开为泰勒级数i,在平衡点if把磁化曲线θ2B0BB00B2020/1/21第二章控制系统的数学模型16自动控制理论在实际应用中，常把增量符号“△”省去，这样上述两式显然和（2-5）（2-6）完全相同小结随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数和放大倍数是不同的。0RNBifRLRCK2由线性化引起的误差大小与非线性的程度有关2020/1/21第二章控制系统的数学模型17自动控制理论第三节传递函数传递函数的定义传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。设线性定系统的微分方程式为量为系统的输出为系统的输入量式中;1111011110tctrmntcbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnn，2020/1/21第二章控制系统的数学模型18自动控制理论在零初始条件下，对上式进行拉式变换得）（27-2G1110111011101110sRasasasabsbsbsbsRsCssRbsbsbsbsCasasasannnnmmmmmmmmnnnn即就是系统的传递函数。sG方框图表示。它们之间的传递关系用其中，tRLsRtCLsC;2020/1/21第二章控制系统的数学模型19（1）传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。（2）由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子用复变量s表示，把c(t)和r(t)换为相应的象函数C(s)和R(s)，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之亦然。根据式(2-24)g124211sGLsCLtsGsC，s，RttrsRsGsC则令根据式单位脉冲响应及应用自动控制理论小结：dtd2020/1/21第二章控制系统的数学模型20如果已知系统的单位脉冲响应g(t),则利用卷积积分求解系统在任何输入r(t)作用下的输出响应,即28)-(2*00dtrgdrtgtrtgtCtt下面以一个R-C电路(图2-11)为例,说明卷积积分的应用该电路的微分方程为RCT,1tTSsUsUsGuudtduRCrcrcc对应的传递函数为自动控制理论图2-11R-C电路2020/1/21第二章控制系统的数学模型21得则由式282111tTeTsGLtg自动控制理论tur11、tTttTttTreTtTdTeeTdeTtu1222201011)sin(11sin1sin1由于tTtTredeTdutgtuc10)(1011)()()(ttur2、tTttTttTTeTtdeeTdeTt10101c11uttursin3、式中Tarctan2020/1/21第二章控制系统的数学模型22传递函数的性质自动控制理论传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关传递函数只适用于线性定常系统传递函数为复变量S的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式D的最高阶次m，即n≥m传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程一个传递函数是由相应的零、极点组成一个传递函数只能表示一个输入与一个输出的关系，它不能反映系统内部的特性对于多输入—多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，例如图2-12所示的系统2020/1/21第二章控制系统的数学模型23自动控制理论图2-