第1章 矢量分析(1、2)

电磁场与电磁波阎逢旗中国海洋大学信息科学与工程学院2一、三种常用的坐标系二、矢量代数三、标量场的梯度四、矢量场的散度五、矢量场的旋度六、亥姆霍兹定理及矢量场的分类第一章矢量分析与场论基础3一、三种常用的坐标系二、矢量代数三、标量场的梯度四、矢量场的散度五、矢量场的旋度六、亥姆霍兹定理及矢量场的分类第一章矢量分析与场论基础4一、三种常用的坐标系★方向单位矢量(常矢量)zya,a,ax1、直角坐标系矢量表示：A★),,(zyx★坐标变量：zyx,,zyeee,,x52、圆柱坐标系矢量表示：A★★方向单位矢量：zra,a,a),,(zr★坐标变量：zr200zreee,,63、球坐标系★矢量表示：A),,(r★坐标变量2000r★方向单位矢量：a,a,areeer,,74、坐标变换zzryrxsincos★直角坐标系与圆柱坐标系：zzyxxyxyxyrr2222arccosarcsinarctancos8★直角坐标系与球坐标系：222222222222222arccosarcsinarctanarcsinarccosyxxyxyxyzyxyxzyxzzyxRcossinsincossinRzRyRx9★圆柱坐标系与球坐标系：22222222arccosarcsinzyxzzyxrzrRcossinRzRr105、三种坐标单位矢量间的关系★直角坐标系与圆柱坐标系：例如：sincosaaarxsincosaaarx11★圆柱坐标系与球坐标系：例如：cossinaaaRrcossinzrRaaa12★直角坐标系与球坐标系：13一、三种常用的坐标系二、矢量代数三、标量场的梯度四、矢量场的散度五、矢量场的旋度六、亥姆霍兹定理及矢量场的分类第一章矢量分析与场论基础14ABBACBACBA)()(cosABABBACABACBA)(uBAˆsinABABBACABACBA)(zzyyxxaAaAaAAzyxzyxzyxBBBAAAaaaBAzzyyxxaBaBaBB（标量积、投影积）：对应分量相乘的和（矢量积）：行列式展开二、矢量代数1、矢量和2、点乘3、叉乘15zzyyxxzzyyxxaBaBaBaAaAaABAzzyyxxaAaAaAA设则标积为（在直角坐标系）zzyyxxaBaBaBBzzyyxxBABABA的计算与BABA16zyxzyxzyxxyyxzzxxzyyzzyxzzyyxxzzyyxxBBBAAAaaaBABAaBABAaBABAaaBaBaBaAaAaABA则矢积为（在直角坐标系）17)()()(BACACBCBΑ)()(CBACBACBACBA)()(CBΑΒCΑCΒΑ)()()(（1）（2）（3）（4）4、矢量代数公式18一、三种常用的坐标系二、矢量代数三、标量场的梯度四、矢量场的散度五、矢量场的旋度六、亥姆霍兹定理及矢量场的分类第一章矢量分析与场论基础19在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。三、标量场的梯度1、场的概念例如：电荷在其周围空间激发的电场，电流在周围空间激发的磁场等。标量场：如果这个量是标量，称该场为标量场矢量场：如果这个量是矢量，称该场为矢量场。静态场：如果场与时间无关，称为静态场，时变场：如果场与时间有关，称为时变场。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。20z,y,xuzyx,,F静态标量场和矢量场可分别表示为：tzyxu,,,tzyx,,,F时变标量场和矢量场可分别表示为：21导体等电位面2、标量场的等值面定义：由所有场值相等的点所构成的面。即若标量函数为：，则等值面方程为：(,,)uuxyz(,,)uxyzcconst22设函数在内有定义。若点沿射线l趋于时,极限存在，则称该极限值为函数在点处沿l方向的方向导数。3、方向导数定义：230XXlu||||)()(lim000XXXfXfXX或)(0Xfl方向导数记为：24怎么计算方向导数？25定理(方向导数的计算公式)若函数在点处可微，则函数在点处沿任一方向的方向导数存在，且其中,各导数均为在点处的值。26),,()(zyxfXfu沿什么方向增加得最快？可微函数4、梯度27函数u(x,y,z)在空间区域内具有一阶连续偏导数,函数u(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度gradu(x,y,z)定义为:★定义：grad是梯度微分算子。梯度281）一个标量函数u(标量场)的梯度是一个矢量函数。梯度的方向就是函数u变化率最大的，它的模就是函数在该点的最大变化率的数值。★梯度的性质2）函数u在给定点沿l方向的方向导数等于函数u的梯度在l方向的投影。laulugrad293）在标量场中任一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，且指向函数u(M)增大的方向。30zayaxazyx★：那勃勒(nabla)算子（矢量微分算子）算子与标量函数u相乘为一矢量函数。zuayuaxuauzyx直角坐标系：即：uugradzuauraruauzr1圆柱坐标系：urauraruaursin11球坐标系：经过梯度运算，可由一个标量场得到一个矢量场31uufufuvvuuvvuvuuccuc'0★梯度运算的基本公式32例1-6P18222)'()'()'(zzyyxxRzayaxazyxRR1'1''''zayaxazyx试证明。R表示空间点(x,y,z)和点(x’,y’,z’)之间的距离。的微分：，，表示对符号''''zyx