3线性代数线性相关性判定定理

§3.3线性相关性判定定理定理1向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．m,,,212mm,,,211m证明充分性设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.maaa,,,21ma即有112211mmma故01112211mmma因这个数不全为0，1,,,,121mm故线性相关.m,,,21必要性设线性相关，m,,,21则有不全为0的数使,,,,21mkkk.02211mmkkk因中至少有一个不为0，mkkk,,,21不妨设则有,01k.13132121mmkkkkkk即能由其余向量线性表示.1向量组（当时）线性无关的充分必要条件是中任何一个向量都不能由其余个向量线性表示．m,,,212mm,,,211m定理1的逆否命题例1向量组线性相关的充要条件是12,,,m(2)m12,,,m（A）中有一零向量（B）中任意两个向量的分量成比例12,,,m（C）中有一向量是其余向量的线性组合12,,,m12,,,m（D）中任意一个向量是其余向量的线性组合例2若向量组线性相关，则是其余向量的线性组合，这种说法对吗？12,,,m1不对例如123(1,0,0),(0,1,0),(0,2,0)但不能写成其余向量的线性组合1所以线性相关123020由于例3假定能用表示为12,,,m问向量组是否线性相关？12,,,,m1122mmkkk由定理1知线性相关12,,,,m.,,,,,:,,,,:121且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组ABArr定理2证11220rrkkkk设∵Ａ线性无关，而向量组Ｂ线性相关，∴k≠０，（否则与Ａ线性无关矛盾）1122rrkkkk1212rrkkkkkk∴β可由Ａ线性表示.即有下证唯一性：1122;rr1122rr两式相减有1112220rrr∵Ａ线性无关，11220,0,0rr1122,,rr即表达式唯一.设定理2的逆否命题设向量组A：线性无关，而向量β不能由向量组A线性表示，则向量组B：线性无关。,,,12r,,,,12r（A）如果存在不全为零的数使12,,,mkkk11220mmkkk则线性无关12,,,m（B）若向量组线性相关，12,,,m则可由其余向量线性表示m（C）向量组线性无关的充要条件是12,,,m不能由其余m－1个向量线性表示。1（D）若不线性相关，则一定线性无关12,,,m例4设是一组n维向量，则下列结论正确的是12,,,m例5命题：如果线性无关，且不能由线性表示则线性无关。是否为真命题？12,,,m12,,,m12,,,,m答此命题为定理2的逆否命题，所以为真命题12,,,m例6命题：设可由线性表示，且表示法唯一，则线性无关。是否为真命题？12,,,m证12,,,m由已知可由线性表示存在一组数使得12,,,mlll1122mmlll11220mmkkk设两式相加得111222()()()mmmklklkl因由唯一的线性表示12,,,m所以111222,,,mmmkllkllkll所以120,0,,0mkkk即线性无关12,,,m所以此命题为真命题,也线性相关。若干个向量后所得的向量组线性相关若向量组,,,21r定理3,,,2r1,,rm1则增加证因为12,,,r线性相关故存在一组不全为零的数12,,,rkkk使11220rrkkk从而11221000rrrmkkk其中12,,,,0,,0rkkk不全为零所以121,,,,,rrm线性相关部分相关则整体相关整体无关则部分无关例7n维向量组线性无关的充要条件是12,,,m（A）存在一组不全为零的数12,,,mkkk使11220mmkkk（B）中任意两个向量均线性无关12,,,m（C）中存在一个向量不能由其余向量线性表示12,,,m（D）中任意一个向量都不能用其余向量线性表示12,,,m例8设向量组线性相关，向量组线性无关，问123,,234,,1能否由线性表示？证明你的结论23,解能因为线性无关，234,,所以线性无关23,整体无关则部分无关而线性相关123,,由定理2，可唯一的由线性表示123,.,,12阶子式的称为矩阵阶行列式，的中所处的位置次序而得变它们在不改元素处的个），位于这些行列交叉列（行中任取矩阵在定义kAkAknkmkkkAnm.个阶子式共有的矩阵knkmCCkAnm11214211122311236979A例如11214211122311236979A是A的一个二阶子式1131D定理4设n维行向量组A：12,,,TTTr构成一个r×n型矩阵11121121222212TnTnTrrrnraaaaaaAaaa其中r≤n，则向量组A线性无关的充分必要条件是：在矩阵A中至少存在一个不等于零的r阶子式定理4当r＝n时，我们有如下推论推论1n个n维向量线性无关的充要条件是它们所构成的n阶方阵的行列式不等于零。推论2n个方程的n元齐次线性方程组Ax＝0有非零解的充要条件是系数行列式0A推论3当mn时，m个n维向量12,,,m一定线性相关。这就是说，向量的个数超过维数的向量组一定线性相关。例讨论下列矩阵的行向量组的线性相关性233102A123221343B132202132015C解矩阵A中有3个2维行向量，由推论3知必线性相关。因为由推论1知B的三个行向量线性无关。20B矩阵C的4个3阶子式全为零，故C的3个行向量线性相关。（定理4的逆否命题）推论4如果在m×n型矩阵A中有一个r阶子式0D，则含有D的r个行向量和r个列向量都线性无关；如果A中所有r阶子式全等于零，则A的任意r个行向量及任意r个列向量都线性相关。