3线性系统

线性系统分析（一）系统x1y1x2y2系统{.}1,1yxf1,1yxf2,2yxg系统的输出可以表示为:1122,,yxfLyxg（二）线性系统什么是线性系统?222221112111112111,,,,,,yxbgyxagyxfbLyxfaLyxbfyxafL说明:当输入函数是两个(或多个)函数的线性组合时,该系统的输出函数等于输入函数中各个函数单独输入时对应的各输出函数的同样的线性组合。注：线性系统同时具有叠加性和均匀性。解释所谓叠加性指系统中的一个输入并不影响其它输入的响应。所谓均匀性指线性系统能够保持输入信号的缩放因子不变。222221112111112111,,,,,,yxgyxgyxfLyxfLyxfyxfL221111111,,,yxagyxfaLyxafL（三）线性平移不变系统（LSI系统）则有1122,,yxfLyxg若02020101,,MyyMxxgyyxxfL称该系统具有空间平移不变性。LinearShift-invariantSystem解释空间不变性类似于电学网络中的时间不变性。相对于一个输入信号，即使空间上产生移动也不影响其输出，即输出响应保持不变。说明：相当多的光电系统都接近于LSI系统，我们利用这种系统的一些特性可以对复杂公式进行简化。举例1.设有一个理想的线性相位低通滤波器，其振幅和相位分布分别为：0,,0tAccA和其中，的单位为弧度每秒，t0是一个任意的正常数。证明这是一个线性系统。证明：设输入信号tf1tf2和为：ctAtf111,sinctBtf222,cos其相应的输出响应为：0121sinttAtg022costtABtg和为了证明这个滤波器为线性滤波器，设输入信号为tfK11tfK22和之和：,cossin22112211tBKtAKtfKtfKtf其相应的输出响应为：tgKtgKttABKttAKtg22110220121cossin从上式看出，此滤波器具有均匀性和叠加性，因此是一个线性滤波器。如果例子中的输入有一个时间延迟tftAtf11'1sin即则输出响应可以表示成：tgttAtg10121'sin即输出响应同样有一个延迟，因此这个理想的滤波器是一个线性时间不变滤波器。线性概念既可以用于时间域也可以用于空间域！怎样利用线性平移不变性来解决光学系统问题呢？看下图：x1y1x2y2系统{.}2,2yxh点光源物平面像平面1,1yx如果,,22Lyxh22221111112,2,*,,,,,,yxhyxfddyxLfddyxfLyxfLyxg则：像平面上得到的分布为函数的性质之一：任何函数与函数的卷积等于函数本身。物平面由每一个点光源组成，即ddyxyxfyxf111,11,1,有22221111112,2,*,,,,,,yxhyxfddyxLfddyxfLyxfLyxg即：yxhyxfyxg,*,,说明：系统的输出函数等于输入函数与系统的单位脉冲响应的卷积。输出函数=输入函数*单位脉冲响应光学中常用的基元函数有：函数又称为点基元函数指数函数yxj2exp作为基元函数：利用指数函数ddyxjFyxf2exp,,将输入函数写为：如果yxhyxfyxg,*,,则,,,HFG频谱密度系统的传递函数,,,FGH线性不变系统的传递函数yxhyxfyxg,*,,利用傅立叶变换的卷积定理，可以找到两个函数在频率域的关系：yxyxyxffHffFffG,,,其中x,yfffFyxFT,x,ygffGyxFT,输入频谱输出频谱dxdyyfxfjx,yhx,yhffHyxyx2exp,FT系统的传递函数传递函数的物理意义线性系统的输入函数既可以被分解为函数的线性组合，也可以分解成复指数函数的组合。对于线性不变系统，后者更合适！yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf2exp,,输入函数相应的输出函数yxyxyxdfdfyfxfjffFyxfyxg2exp,,,LL根据线性叠加性质，系统算符可以移入积分号内，有yxyxyxdfdfyfxfjffFyxfyxg2exp,,,LL直接将输出函数分解，得yxyxyxdfdfyfxfjffGyxg2exp,,yxyxffHffF,,（1）（2）比较（1）和（2）式得：yfxfjffHyfxfjyxyxyx2exp,2expL此式子表明：把输入函数分解成各种不同频率的复指数函数的线性组合，各个基元复指数函数在通过线性不变系统后，仍然还是同频率的复指数函数。但是，由于有系统的传递函数存在，可能会产生与频率有关的幅值变化和相移。输入函数分解成下列形式：yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf2exp,,总结1.线性空间不变系统的明显特征之一是系统的传递函数可以由空间脉冲响应唯一地描述；yxhFTH,,2.当一个脉冲信号作用于LSI系统时，其输出响应就是系统的空间脉冲响应。线性空间不变系统yx,yxh,Fig.空间脉冲响应的描述3.对线性不变系统可采用两种方法来研究：（1）空间域（2）频率域二维光场分析（一）单色光波场的描述PtPatPu2cos,P初相位振幅tjPUPtjPaPu2expRe2expRe时间相位因子光场的空间分布：PjPaPUexpUUUI*2光强（二）球面波与平面波的复振幅任何复杂的波都可以用球面波或平面波的线性组合来表示。1.球面波（Sphericalwave）的复振幅(特点：等相面是一组同心球面，球面上各点的振幅与该点到球心的距离成反比)xyzzyx,,rk（1）发散球面波（与方向一致）rkjkreraPU0（2）会聚球面波（与方向相反）rkjkreraPU0202020zzyyxxr矢径（3）某一特定平面上的光场分布0.,00yxzzzyxP,,当满足傍轴条件时，zyyxxzr22020代入光场分布公式，可以得到简化的式子:说明：在展开式中取了前两项！发散球面波在xy平面上的复振幅分布为：202002expexp,yyxxzkjjkzzayxU在所考察的区域相对z很小时，可以认为各点光振动的振幅近似相等。上式中，由于相位因子中光的波长很短，K=2/l很大，所以r要多取一项。其中是常数相位因子。jkzexp20202expyyxxzkj是球面波的相位因子。也称为二次相位因子。平面波（Planewave）的复振幅(特点：等相面是平面)coscoscosexp,,zyxjkazyxU振幅a是常数其中1coscoscos222平面波等相面P点（1）在P点处产生的光波分布为方向余弦注：当选取垂直于z轴的xy平面，求平面上的光波场时，0cos（2）平面波复振幅的特点（1）振幅a为常数，与入射场坐标x，y，z无关；这时有coscosexpcoscos1exp0,,22yxjkjkzayxU常数（2）相位因子是场坐标x，y，z的线性函数，rk（3）平面波的空间频率空间频率：描述波动过程在空间重复性的物理量。时间空间单色光波周期频率圆频率llllcos,cos,cos/)(11cm)(11sT22Tl2k)(cml)(sTlcosX两相邻等相位线的间距为x方向的空间频率用表示，单位是周/mm。lcos1Xy方向的空间频率用表示。lcos1Y这个例子里0平面波前相位图平面波的空间频率lcos1Xlcos1Ylcos1Z22221l平面波的波矢2222zyxkkkkl这里的coscoscoskkkkkkzyx单色平面波在空间中的光场复振幅分布可以表示为：zfyfxfjAzyxUzyx2exp,,coscoscosexp,,zyxjkAzyxU与下列式子是一致的！表明：平面波在空间中的传播，利用空间频率来表示，其物理含义更直观。复振幅分布的空间频谱=+轮廓细节ddyxjFyxf2exp,,yxf,平面波yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf2exp,,级0本底低频轮廓高频细节=+轮廓细节+本底yxyxyxdfdfyfxfjffFyxf2exp,,llcos,cosyxff例题1．已知一单色平面波的复振幅表达式为zyxjAzyxU543exp,,求此波在传播方向的空间频率以及沿x，y，z方向的空间频率。5cos,4cos,3coskkk25cos,16cos,9cos222222kkk502lk502llll25cos,2cos,23cosl2501f解：由题设知空间频率为在传播方向上的空间频率为