实对称矩阵的特征值和特征向量

§3.3实对称矩阵特征值和特征向量永远可以对角化。实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。一、实对称矩阵特征值的性质An0A0Tnaaa),,,(21证明：设是阶实对称矩阵，是矩阵的在复数域上的任一特征值，属于的特征向量为两边取复数共轭得到)0(0A则，于是，(4.11)000AAA由于，TTA0对最后一式取复数转置，得到0)(00000TTTTTA两边再右乘，得到02T00000所以有特征值都是实数。00A这样，是实数。由的任意性，实对称矩阵的特征向量都是实数向量。A附注：进一步地有，实对称矩阵的属于特征值的一、实对称矩阵特征值的性质定理4.12实对称矩阵的特征值都是实数。对上面第一式两边左乘，的特征向量。A12A1212定理4.13实对称矩阵的属于不同特征向量相互正交。证明：特征值的设，是实对称矩阵的不同特征值，，分别是属于特征值，)0(1111A)0(2222AT2于是，得到（4.12）12112TTA而122122121212)()()(TTTTTTAAA于是有121T0)(1221122TT这样，由得到21012T21是正交的。，即与特征向量相互正交的线性无关组。A【注】实对称矩阵的属于不同特征值的向量和对应特征向量324202423A121TT)0,21(,)2,1,2(83T)1,0,1(在§4.1中里4中，例1矩阵是实对称矩阵，特征值（二重）对应特征都正交。把它们化为标准正交组。TT)0,21(,)2,1,2(当然，彼此不正交，但可以通过标准正交化方法为矩阵。把分块为，也是的属于的An定理4.14设是阶实对称矩阵,则存在正交阵,使为对角阵.QAQQAQQT1下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。A1n1nn证明：对矩阵的阶数用数学归纳法。当时,定理结论显然成立.假设对于所有阶实对称矩阵来说定理成立。故不妨设是单位向量，1A111111A11设是的一个特征值，是属于特征值的特征向量,显然单位向量特征向量.第一列任意正交矩阵。1Q11Q),(011QQ0Q)1(nn记是以为其中则00100111010111111),(AQQAQAQAQAQAQQAQQTTTTTTT及与的各列向量都正交，111ATTAA,11110Q注意到110011110000AAQQAQQT根据归纳法假设，001AQQAT1n1A1n2Q其中为阶实对称矩阵。使得对存在阶正交矩阵2122112QAQQAQT),,,(32ndiag所以并且3123,001QQQQQQQ,3n令，则均为阶正交矩阵，21112311113100100001)(QAQQAQQQAQQ2111200100001QAQ212100QAQT),,,,(321ndiag这表明AQQ1n阶实对称矩阵定理结论成立。为对角矩阵。根据数学归纳法原理，对任意对每个,其中为重的，二、实对称矩阵对角化方法具体步骤如下:根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。求出的所有特征值,A0)det(AEAAm,,,21iinnnnnm21第一步对给定实对称矩阵，解特征方程，设的所有不同的特征值为；i0)(XAEiiinii,,,21),,2,1(mi第二步解齐次线性方程组求出它的一个基础解系；得到正交向量组，iinii,,,21iinii,,,21第三步利用施米特正交化方法，把正交化，iinii,,,21iinii,,,21),,2,1(mii再把单位化，得到一个标准正交组，；注意：它们都是属于的线性无关特征向量！！且111211,,,(nQ),,,,,21mmnmmQAQQAQQT1第四步令，则是正交阵,为对角阵，),,,,,,,,,(2122111mnmmnnTdiagAQQAQQ与中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。Q附注：矩阵主对角线元素（特征值！）排列顺序（实对称矩阵A的标准形！！）在不计排列顺序情况下，这种对角化形式是唯一的。142412222AQAQQ1例2对矩阵求一正交阵,使成对角矩阵。的特征多项式为A解：矩阵)3(230312022142412222)det(AE)6()3(2解特征方程得特征值（二重），。0)det(AE32163即求解3210)3(XAE对于，解齐次线性方程组000442442221321xxx得到一个基础解系，。T)0,1,2(1T)1,0,2(2对于，630)6(XAE即求解解齐次线性方程组，000542452228321xxx得到一个基础解系。T)2,2,1(3T)0,1,2(1T)1,0,2(2把正交化：11T)0,1,2(1111222TT54)1,0,2(TTT)1,54,52()0,1,2(得到321,,将单位化，T)0,1,2(55111T)5,4,2(155222T)32,32,31(333构造矩阵),,(321Q52505243526155633的属于0的特征向量为。QAAQQAQQT1则为正交矩阵，并且使得矩阵对角化为：，求矩阵。A01132AT)1,1,0(1A例3．设三阶实对称矩阵的特征值为，（二重），而32,132,01XT解：因三阶实对称矩阵必可对角化，本题中对应于二重特征值1的线性无关向量应有两个特征向量组成，设为。根据定理4.13,它们都与正交，故是齐次线性方程组的基础解系，01XT00),,)(1,1,0(32321xxxxxT所以，可取TT)1,1,0(,)0,0,1(32（彼此正交）将它们单位化：132,则，是正交组，T)1,1,0(22111T)0,0,1(222T)1,1,0(22333构造矩阵),,(321Q10110102022110则为正交矩阵，QA对角化为：并且使得矩阵AQQAQQT1于是TQQA101101020221101100021102211011000121T)1,1,0(22111T)0,0,1(222T)1,1,0(22333110