南京工程学院《概率论与数理统计》 盛骤 各章难点

概率论与数理统计部分难点问题解析设A1,A2,…,An为样本空间S的一个完备事件组，B为一个随机事件.若P(Ai)0,i=1,2,…,n,则成立：第一章随机事件及其概率全概率公式与贝叶斯公式全概率公式P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An);贝叶斯公式P(Am|B)=—————————.P(Am)P(B|Am)P(B)难点类型：利用两公式求概率.例1由三台机床加工一大批零件，加工比例分别为5:3:2，合格率分别为0.94,0.90,0.95，在全部产品中随机抽取一个,(1)求此零件合格的概率（产品合格率）；(2)已知抽到的是合格品，求此零件为1号机床加工的概率.解设Ai:零件由i号加工(i=1,2,3),B:抽到零件合格.因此P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2;P(B|A1)=0.94,P(B|A2)=0.90,P(B|A3)=0.95.(2)由贝叶斯公式，(1)由全概率公式，P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.47+0.27+0.19=0.93；P(A1)P(B|A1)0.47P(B)0.93P(A1|B)=——————=———=0.505.例2盒中有9新、6旧共15只乒乓球，上午比赛时从盒中任取两球，用后放回，下午比赛时再从盒中任取两球.(1)求下午取两球都为新球的概率；(2)已知下午取两球都为新球，求上午取两球为1新1旧的概率.解Ai:上午取两球有i个新球(i=0,1,2),B:下午取两新球.因此(2)由贝叶斯公式，(1)P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.2547P(A1)P(B|A1)P(B)P(A1|B)=——————=0.5385.21529221516191215260)(,)()(CCAPCCCAP,CCAP215272215281215290)|(,)|()|(CCABPCCABP,CCABP例3(产品检验问题)要验收100件产品的方法是：抽取3件产品，若测出次品就拒绝接收.已知一件次品被测出的概率为0.95，一件合格品被误测为次品的概率是0.01.若这100件产品中恰好有4件次品，求这批100件产品被接受的概率.解设A:产品被接受（抽到的3件产品都被认为是合格的）.Bk:抽到的3件产品恰有k个次品(k=0,1,2,3).其中P(Bk)服从超几何分布:C4kC963–kC1003P(Bk)=—————，P(A|Bk)=0.05k×0.993k(k=0,1,2,3).由全概率公式，这批产品被接受的概率是P(A)=∑k=03[P(Bk)P(A|Bk)]=∑k=03[0.05k×0.993－k×—————]≈0.8629.C4kC963–kC1003第二章随机变量及其分布连续型随机变量函数的分布难点类型P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤g1(y)}，解法即两端求导数FY(y)=FX(g1(y))，fY(y)=fX(g1(y))[g1(y)].已知X的密度函数fX(x)，求Y=g(X)的密度函数.例1已知X具有密度函数Oxf(x)41/2求Y=2X+8的密度函数.fX(x)=，0＜x＜4，0，其它.x8解即FY(y)=FX().y–82两端求导得,y–82y–82fY(y)=fX()()=fX().y–8212y–82P{Y≤y}=P{2X+8≤y}=P{X≤}，,.,04280328)(它其，yyyfY.,0,168,328它其yyP{X≤}例2设随机变量X的密度函数为，求Y=1e2X的密度函数fY(y).0,00,2)(2xxexfxX解即FY(y)=FX().两端求导得,P{Y≤y}=P{1e2X≤y}=,.,00)1ln(21)1(212)())1ln(21(2它其，yyeyfyY.它其,0,10,1y)1ln(21y)1ln(21y)1(21))1ln(21()(yyfxfXY即Y~U(0,1).第三章多维随机变量及其分布二维连续型随机变量及其概率密度1.已知(X,Y)的密度函数f(x,y)，求其分布函数F(x,y).其中区域D为:ux,vy解法求二重积分2.已知(X,Y)的密度函数f(x,y)，求X,Y的边缘密度函数fX(x)及fY(y).;,d),()(xyyxfxfX.,d),()(yxyxfxfYDdudvvufyxF),(),(vOxyuD解法求积分例1设X,Y的密度函数为2e－(2x＋y),当x＞0,y＞0；0，其它f(x，y)=(1)求分布函数F(x，y)；(2)计算P{Y≤X}.解xydudvvufyxF),(),((1)对任意的x＞0、y＞0，xyvudvedu00)2(2).1)(1(2yxee0，其它.F(x，y)=于是(1－e－2x)(1－e－y),当x,y＞0例1设X,Y的密度函数为2e－(2x＋y),当x＞0,y＞0；0，其它f(x，y)=(1)求分布函数F(x，y)；(2)计算P{Y≤X}.解(2)设在G0上f(x,y)0，且y≤x，则OxyG00dd),(dd),(}{GxyyxyxfyxyxfXYP0)(2d2dyyxxey.31按y-型区域fX(x)=f(x,y)dy=xx26dy=6(xx2),0≤x≤1,0,其它.fY(x)=f(x,y)dx=y6dx=6(y),0≤y≤1,0,其它.yy用x-型区域求用y-型区域求解例2已知X、Y的联合密度函数为：计算X、Y的边缘概率密度.6，x2≤y≤x;0，其它.f(x，y)=Gy=x2Oxy11第四章随机变量的数字特征定理(独立同分布中心极限定理)设X1,X2,,Xn,独立同分布，其期望、方差20存在，则有中心极限定理定理(棣莫弗-拉普拉斯定理)若Xn~b(n,p),则有)(}{lim1xxnnXPnkkn..)(})1({limxxpnpnpXPnn)(}/1{lim1xxnXnPnkkn.或者解易知，E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布中心极限定理，有).1,0(~2024048)12/10(548NVV近似地于是有P{V255}=}1024025510240{VP例1某仪器同时收到48个独立的噪音电压Vk~U(0,10)(k=1,…,48).记V=V1+V2+…+V48.求P{V255}的近似值.}5.010240{VP1－(0.5)=0.3085.以X记90000次海浪冲击时纵摇角大于3的次数，则X~b(90000,1/3).例2一船舶在海上航行，已知每遭受一次海浪的冲击，纵摇角大于3的概率为p=1/3，若船舶遭受90000次海浪冲击，问其中有29500~30500次纵摇角大于3的概率是多少？解由棣莫弗-拉普拉斯定理，近似地有).1,0(~210030000)1(NXpnpnpX近似地P{29500≤X≤30500}=}21005002100300002100500{XP}225210030000225{XP}535.3210030000535.3{XP1)535.3(2)535.3()535.3(ΦΦΦ=0.9996.点估计的常用方法第六章参数估计最大似然估计由总体X的概率密度f(x)(或分布律P{X=xi})建立似然函数niinxfxxxLL121),();,,,()(niinxXPxxxLL121}{);,,,()(或求似然函数L(x1,x2,…,xn;θ)的最大值.例1设X~b(1,p).X1,X2,…,Xn是来自X的一个样本，试求参数p的最大似然估计量.解X的分布律为P{X=x}=px(1p)1x，x=0,1.设x1,…,xn为样本值.似然函数为,)1()1()(1111niiniiiixnxnixxpppppL),1ln()(ln)()(ln11pxnpxpLniinii两边取对数，求导数，令其为零，得,01)(ln11pxnpxpLdpdniinii解得p的最大似然估计值为.1ˆ1xxnpnii所以，p的最大似然估计量为.ˆXp例2设X~N(,2).x1,x2,…,xn是来自X的一个样本值，试求参数,2的最大似然估计量.解X的概率密度为故似然函数为niixfL122),;(),(等式两边取对数，得].2)(exp[21),;(222xxf].)(21exp[)()2(122222niinnx.)(21ln2)2ln(2),(ln12222niixnnL,0][1ln12niinxL令其两个偏导数为零，得方程组.0)(212ln12422niixnL解得,2的最大似然估计值分别为,1ˆ1xxnnii所以，,2的最大似然估计量分别为.)(1ˆ212xxnnii,1ˆ1XXnnii.)(1ˆ212XXnnii现测得一组容量为8的样本观察值为1,3,0,2,3,3,1,3，试求p的最大似然估计值.例2设总体X的分布律为其中p(0p1/2)为参数，解似然函数L(p)=81}{iixXP=[2p(1p)]2(12p)4(p2)2ppp218126.0)21)(1(3141222ppppp,12137pX0123pip22p(1－p)p21－2p取对数lnL(p)=2[ln2p+ln(1p)]+4ln(12p)+4lnp，令[lnL(p)]=解得,2112137p舍去所以p的极大似然估计值为.2828.012137ˆp