第1章机械优化设计的基本问题

1第一章机械优化设计的基本问题1.1优化设计概述1.2优化设计的数学模型1.3优化计算的数值解法及收敛条件2第一章机械优化设计的基本问题1.1优化设计概述(一)基本概念最优化问题最优化技术最优方案可行方案不可行方案爬山问题优化设计:是将工程设计问题转化为最优化问题,采用最优化方法,利用计算机,从满足设计要求的可行方案中,按照预定的目标,自动寻找最优方案的一种现代设计方法。3第一章机械优化设计的基本问题1.1优化设计概述(一)基本概念最优化数学方法数学规划法(20世纪50年代以前):利用数学的方法求解函数的最大值或最小值。古典的精确的分析方法：如微积分理论、变分方法等(二)优化设计的步骤(1)设计问题转化为最优化问题,即建立数学模型；(2)选择合适的优化方法求解；(3）最优方案的实用性检验。41.2优化设计的数学模型[引例]用薄钢板制造一体积为5m3的无盖货箱，要求长度不小于3m，宽度不大于2m。欲使耗板材最少，问应如何选取货箱的长x1、宽x2、高x3。试建立优化数学模型。1x3x2x分析:表面积123121323,,2minFXFxxxxxxxxx限制条件:121233,2,5xxxxx230,0xx121323312311223243123min2:30020050TFXxxxxxxXxxxDRDgXxgXxgXxgXxhXxxx设计变量目标函数约束条件5设计方案由一组设计参数表示,如一对斜齿轮:(mn,z1,b,)1.2.1设计变量设计参数设计常量预先给定：弹性模量、许用应力设计变量独立变量非独立变量如一对齿轮传动:z2=iz1YFa∝z(zv)设计变量:在设计过程中进行选择并需最终加以确定的独立变量如一对齿轮传动：(mn,z1,b,)√(mn,z1,z2,d1,d2,b,)×符合要求的一组设计变量的值表示一个设计方案，如x1=5x2=1x2=1非独立连续变量离散变量6设计变量的表示方法列矩阵行矩阵的转置矩阵123xXxx123TXxxx设计点设计矢量设计空间维数nnR设计方案、设计变量、设计点、设计矢量都是相对应的。集合？71.2.1设计变量设计变量维数设计空间123TXxxx12TXxx1TnXmzb2R3R4R121323312311223243123min2:30020050TFXxxxxxxXxxxDRDgXxgXxgXxgXxhXxxx设计变量目标函数约束条件234n≤10小型问题；10n≤50中型问题；n50大型问题。81.2.2目标函数(评价函数)1213232FXxxxxxx12,,...,xnFFxxx目标函数是设计变量的标量函数：Fxxo目标函数多目标函数单目标函数9o1.2.2目标函数(评价函数)FxxminFXmaxFX*x设计问题的最优化数学问题的最小化1.2.3约束条件—对设计变量取值的限制按约束形式分：不等式约束等式约束121323312311223243123min2:30020050TFXxxxxxxXxxxDRDgXxgXxgXxgXxhXxxx按约束性质分：边界约束性能约束10x1x3x2o数学模型２３121323312311223243123min2:30020050TFXxxxxxxXxxxDRDgXxgXxgXxgXxhXxxx可行域：满足所有设计约束条件的设计点集合非可行域：其余部分11等式约束→降维121323312311223243123min2:30020050TFXxxxxxxXxxxDRDgXxgXxgXxgXxhXxxx12350hXxxx3125xxx数学模型的另一种写法12121221211223241210min:3002050TxxFXxxxxXxxDRDgXxgXxgXxgXxx121.2.4数学模型表示式约束优化问题无约束优化问题minnFXXR分类线性优化问题：目标及约束函数均为设计变量的线性函数非线性优化问题最优解****12...TnXxxx**()FFX最优值最优点131.2.5优化问题的几何描述141x()Fx2x1.2.5优化问题的几何描述无约束优化问题2212112min44TnFXxxxXxxR(2,0)分析:二次曲面22122FXxx2222(,0)22xyzabab椭圆抛物面:旋转抛物面:2222(0)22xyzaaa**200TXF最优解等值线等值线族的中心iFXc22122ixxc151.2.5优化问题的几何描述约束优化问题1x()Fx2x可行域161x2xo211()gX4()gX3()gX2()gX*1X*120TX无约束最优点*2X*20.581.34TX约束最优点积极约束消极约束g4(x)171.3优化计算的数值解法及收敛条件1.3.1数值计算法的迭代过程选初始点X(0)确定搜索方向S(0),沿S(0)搜索,步长为(0)求得第一个迭代点X(1)(1)(0)(0)((1)(0)0)FXFX+S,X=X(2)(1)(1)((2)(1)1)FXFX+S,X=X(1)((1)()))(()........................kkkkkkX=FXFX+S,Xox1x2(1)X(2)X(0)X()kX(0)(1)kX*X(0)S(1)S()kS(1)()()()kkkkX=X+S基本迭代公式:(0)(1)(2**)()(1)0121,,,......,,......,,,......,,......kkkkXXXXXFFFFFXF步长方向步步下降步步逼近181.3.2迭代计算的终止准则(收敛准则)(0)xox1x2(1)x(2)x()kx(0)(1)kx*x(0)S(1)S()kS(1)()()()kkkkX=X+S(0)(1)(2)()(1)*,,,......,,,......kkXXXXXX2()(1)1nkkiiixx()(1)kkXX(1)点距准则(2)函数下降量准则()(1)()(1)kkkFFF()(1)()()(1)kkkkFFFF(3)梯度准则()kF19作业题P16题2、题4