第二章_第二节_函数的极限教案.ppt

一、函数极限的定义三、小结思考题二、函数极限的性质第二节函数的极限一、函数极限的定义在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。下面，我们将主要研究以下两种情形：；的变化情形对应的函数值任意接近于有限值自变量)(,)()1(00xfxxxx；的变化情形对应的函数值无限增大的绝对值自变量)(,)()2(xfxxx1.自变量趋于有限值时函数的极限问题:函数)(xfy在0xx的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.000的过程表示xxxxx0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx①定义1设函数)(xf在点0x的某一去心邻域内有定义，对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式00xx时，对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那么常数A就叫函数时的极限当0)(xxxf,记作)()()(lim00xxAxfAxfxx当或定义.)(,0,0,00Axfxx恒有时使当②几何解释:)(xfyAAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线线图形完全落在以直函数域时邻的去心在当Ayxfyxx注意：;)(.10是否有定义无关在点函数极限与xxf..2有关与任意给定的正数.,,也不需要取到最大的并不唯一显然例2).(,lim0为常数证明CCCxx证Axf)(CC,成立,0任给0.lim0CCxx,0任取,00时当xx例3.lim00xxxx证明证,)(0xxAxf,0任给,取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx例4.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx例5.lim00xxxx证0)(xxAxf,0任给},,min{00xx取,00时当xx00xxxx,)(Axf要使,0xx就有,00xxx.00且不取负值只要xxx.lim,0:000xxxxx时当证明3.单侧极限(one-sidedlimit):例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx证明设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;0xx记作,0xx从右侧无限趋近;0xx记作yox1xy112xy左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)()(lim00AxfAxfxx或记作.)()(lim00AxfAxfxx或记作(right-handlimit)(left-handlimit).)()()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxyx11oxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例6证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0x.sin时的变化趋势当观察函数xxx播放2.自变量趋向无穷大时函数的极限问题:函数)(xfy在x的过程中,对应函数值)(xf无限趋近于确定值A.;)()(任意小表示AxfAxf.的过程表示xXx.0sin)(,无限接近于无限增大时当xxxfx通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.定义X.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim①定义2设函数)(xf当x大于某一正数时有定义，对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数X,使得当x满足不等式Xx时，对应的函数值)(xf都满足不等式Axf)(,那么常数A就叫函数时的极限当xxf)(,记作)()()(limxAxfAxfx当或:.10情形x.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当:.20情形xAxfx)(lim.)(,,0,0AxfXxX恒有时使当Axfx)(lim2、另两种情形:Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且xxysin3、几何解释:AAXX.2,)(,的带形区域内宽为为中心线直线图形完全落在以函数时或当AyxfyXxXxAxxysin例1.0sinlimxxx证明证xxxxsin0sinx1X1,,0,1X取时恒有则当Xx,0sinxx.0sinlimxxx故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线是函数则直线如果定义xfycycxfx(horizontalasymptote)二、函数极限的性质定理2（函数极限的局部有界性）定理1（函数极限的惟一性）如果)(lim0xfxx存在,则这个极限唯一.如果)(lim0xfxx存在,那么存在常数00和M，使得当00xx时，有Mxf)(..2)(,),(),,(,0)(lim0000AxfxUxxUxAxfxx就有时当邻域的某一去心则存在若).0)((0)(,0,0),0(0,)(lim00xfxfxxAAAxfxx或时使得当则存在常数或且若定理3(函数极限的局部保号性)).0(0),0)((0)(,),(,0,)(lim000AAxfxfxUxAxfxx或则或时当且若推论定理3'xy1sin例7.1sinlim0不存在证明xx证,1nxn取,0limnnx;0nx且,2141nxn取,0limnnx;0nx且nxnnnsinlim1sinlim而,1214sinlim1sinlimnxnnn而1limn二者不相等,.1sinlim0不存在故xx,0三、小结思考题函数极限的统一定义;)(limAnfn;)(limAxfx;)(limAxfx;)(limAxfx;)(lim0Axfxx;)(lim0Axfxx.)(lim0Axfxx.)(,,,0)(limAxfAxf恒有从此时刻以后时刻(见下表)过程时刻从此时刻以后nxxxNNnNxNxNx)(xfAxf)(0xx00xx0xx0xx00xx00xx过程时刻从此时刻以后)(xfAxf)(思考题试问函数0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在0x处的左、右极限是否存在？当0x时，)(xf的极限是否存在？思考题解答)(lim0xfx,5)5(lim20xx左极限存在,)(lim0xfx,01sinlim0xxx右极限存在,)(lim0xfx)(lim0xfx)(lim0xfx不存在..01.01______131222yzxzxxyx，必有时，只要取，问当时，、当.001.0420___4212yxxyx，必有只要时，取，问当时，、当证明：二、用函数极限的定义一、填空题:0sinlim221241lim1221xxxxxx、、练习题.)(:0极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右时极限存在的充分当函数三、试证xxxf?0)(存在时的极限是否在四、讨论：函数xxxx一、1、0.0002；2、397.四、不存在.练习题答案