回归分析设计

回归分析一、变量间的关系及回归分析的基本概念1.变量间的关系（1）确定性关系或函数关系：研究的是确定现象非随机变量间的关系。2,半径半径圆面积f（2）统计依赖或相关关系：研究的是非确定现象随机变量间的关系。施肥量阳光降雨量气温农作物产量,,,f第一节概述2、变量的分类自变量：可以在某一范围内取确定数值的。因变量或随机变量：取值可观测，但不可控制的变量。3.回归分析的基本概念回归分析(regressionanalysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其目的在于通过自变量的已知或设定值，去估计和（或）预测的因变量（总体）均值。线性回归分析如果回归分析所建立的模型是线性的，就叫线性回归分析。回归方程一元回归方程：多元回归方程：mmxxxy221104.回归分析主要内容包括：（1）根据样本观察值对模型参数进行估计，求得回归方程；（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验；（3）利用回归方程进行分析、评价及预测。二、最小二乘法设n次试验得到的观测数据为（x1，y1),(x2，y2),…，（xn，yn）,则有．iiibxay（i=1，2，…，n）即（i=1，2，…，n）iiibxay取全部误差的平方和为niiiniibxaybaQ1212)(),(上式中只有a，b是未知数，即Q是a，b的函数,要找出一条总的看来最接近这n个观测点的直线，就是要求出使Q取得最小值的a,b（记作，）.由于平方又叫做二乘方,因此把这种使“偏差平方和为最小”的方法称为最小二乘法.这样求得的，称为参数a，b的最小二乘估计．aˆbˆaˆbˆ，的求法如下aˆbˆ0)(20)(211iniiiniiixbxaybQbxayaQ解此方程组，可得niiniiixxyyxxb121)(/))((ˆxbyaˆˆ为了方便记忆，引入记号niiiniiyxxbxnanyxnbna112整理可得21212)(xnxxxLniiniixx,yxnyxyyxxLniiiniiixy11))((于是有xxxyLLb/ˆxbyaˆˆ回归分析均匀设计表不具有正交性，不能像正交试验那样方便地进行方差分析。试验数据的处理比较复杂，对结果的分析计算最好运用回归分析方法，一般采用多元线性回归（MultipleLinearRegression，简称MLR）或逐步回归的方法。（2）回归分析下面通过例题讲述均匀试验结果的回归分析方法与步骤。例：在啤酒生产过程的某项试验中，选择的因素有Z1（底水）和Z2（吸氧时间），每个因素均取9个水平。试验考核的指标y为吸氧量（g）。因素水平Z1（底水）gZ2（吸氧时间）min1136.51702137.01803137.51904138.02005138.52106139.02207139.52308140.02409140.5250这是一个2因素9水平的试验，选用U9（96）较合适。因素及列号x1(Z1)1x2(Z2)3y（g）11(136.5)4(200)5.822(137.0)8(240)6.333(137.5)3(190)4.944(138.0)7(230)5.455(138.5)2(180)4.066(139.0)6(220)4.577(139.5)1(170)3.088(140.0)5(210)3.699(140.5)9(250)4.1试验号由U9（96）的使用表知，因素Z1和因素Z2依次安排在第1列和第3列1）建立回归方程表均匀试验方案及试验结果因素及列号x1(Z1)1x2(Z2)3y（g）11(136.5)4(200)5.822(137.0)8(240)6.333(137.5)3(190)4.944(138.0)7(230)5.455(138.5)2(180)4.066(139.0)6(220)4.577(139.5)1(170)3.088(140.0)5(210)3.699(140.5)9(250)4.1试验号2210xbxbby1yLbLbL1212111yLbLbL2222121_221_1_0xbxbyb由回归变换得到正规方程组为：解联立方程组，得到b1、b2由求得b0设回归方程为：2）线性变换为计算简便，采用回归正交类似的方法，对因素Z1及因素Z2的各水平作线性变换：jjijijΔZZx0因素的零水平和变化区间见下表：因素零水平Zj0变化区间ΔjZ11360.5Z21601010111ΔZZxii20222ΔZZxii2）线性变换例如：1501365136501361111...Zx250136137501362121..Zx410160200101601212Zx810160240101602222Zx，，经过线性变换后，因素水平值恰好是均匀设计表U9（96）中相应的水平数字。试验号x1(z1)x2(z2)吸氨量/gyi1311（136.5）4（200）5.822（137.0）8（240）6.333（137.5）3（190）4.944（138.0）7（230）5.455（138.5）2（180）4.066（139.0）6（220）4.577（139.5）1（170）3.088（140.0）5（210）3.699（140.5）9（250）4.1表啤酒生产U9(96)均匀设计试验方案与结果变换后的因素水平值正好是U9(96)相应列中的水平数字，如表所示。这样就大大简化了计算。于是：3）计算回归系数45921911iix45984912iix64114368591....yii5x91xn191ii1n1ii1_1ix5x91xn191ii2n1ii2_2ix①合计值计算②平均值计算624911911.yynyiinii③回归系数计算609121111i_ii)x(xL609122222i_ii)x(xL2359912.)y(yLiiyy61991111.)y)(yx(xLii_iiy01191222.)y)(yx(xLii_iiy069122112112.)x)(xx(xLLi_ii_ii3）计算回归系数③回归系数计算6.19660121212111yLbbbLbL0.11606221222121yLbbbLbL解联立方程组218.0348.021bb得到：27.5_221_1_0xbxbyb2122210218.0348.027.5xxxbxbby因而回归方程为：3）计算回归系数3-2-83-2-94）回归方程的显著性检验235.9)(912_iiyyTyyLQ8191nfT①总平方和与自由度21990112180)619()3480(22111.....LbLbLbQyyjymjjK2111miiKff②回归平方与自由度624911911.yynyiinii3-2-83-2-9016021992359...QQQKTe628KTefff③误差平方和与自由度4117076016022199./././fQ/fQFeeKKK④计算FK值查F表，得出14.5)2,6(F05.0表明回归方程显著。624911911.yynyiinii3-2-83-2-94）回归方程的显著性检验jjijijΔZZx0j0ΔxZZijjij2102069604496Z.Z..y由上式看出，指标随因素增加而减小，随因素增加而增加，利用此方程可寻找试验范围内的最优工艺条件，也可以对指标进行预测和控制。y1Z2Zy根据则经变换，回归方程变为：在发酵法生产肌苷中，培养基由葡萄糖、酵母粉、玉米浆、尿素、硫酸铵、磷酸氢二钠、氯化钾、硫酸镁和碳酸钙等成分组成,由于培养基成分较多，且通常采用的水平也较高，不便运用正交试验方法，拟通过均匀试验确定最佳培养基配方。1.确定试验指标根据本试验目的，以发酵液产肌苷量（mg/mL）作为试验指标，指标越大越好。2.选择试验因素与水平根据专业知识和有关资料，选用(NH4)2SO4、葡萄糖、尿素、酵母和玉米浆5种成分为试验因素，每个因素至少取5个水平。3.确定试验次数本试验考虑的因素共5个，考虑到有的因素与试验指标可能时二次关系，即至少要进行10次试验。利用Excel回归分析工具软件处理，获得回归方程4.选择均匀设计表根据因素个数以及确定的试验次数，每个因素可取10个水平，选取的因素水平如表7-9所示。故选用U10（1010）均匀表。因素葡萄糖（x1）尿素（x2）酵母（x3）（NH4）2SO4（x4）玉米浆（x5）水平/%/%/%/%/%18.50.251.51.000.5529.00.301.61.050.6039.50.351.71.100.65410.00.401.81.150.70510.50.451.91.200.75611.00.502.01.250.80711.50.552.11.300.85812.00.602.21.350.90912.50.652.31.400.951013.00.702.41.451.00表发酵法生产肌苷试验因素水平表5.制定试验方案，并进行实验根据U10(1010)表的使用表，当5个因素时，应安排1，2，3，5，7列上。因此将x1，x2，x3，x4和x5分别安排在第1、第2、第3、第5、第7列上。再把每列的水平代码换成相应因素的水平值，即得到试验方案如表。试验号列号与因素发酵液产肌苷量/mgmL-11（x1）2（x2）3（x3）5（x4）7（x5）11（8.5）2（0.30）3（1.7）5（1.20）7（0.85）20.8722（9.0）4（0.40）6（2.0）10（1.45）3（0.65）17.1533（9.5）6（0.50）9（2.3）4（1.15）10（1.00）21.0944（10.0）8（0.60）1（1.5）9（1.40）6（0.80）23.6055（10.5）10（0.70）4（1.8）3（1.10）2（0.60）23.4866（11.0）1（0.25）7（2.1）8（1.35）9（0.95）23.4077（11.5）3（0.35）10（2.4）2（1.05）5（0.75）17.8788（12.0）5（0.45）2（1.6）7（1.30）1（0.55）26.1799（12.5）7（0.55）5（1.9）1（1.00）8（0.90）26.791010（13.0）9（0.65）8（2.2）6（1.25）4（0.70）14.80表肌苷生产均匀设计试验方案及结果6.试验结果分析对表7-10试验结果进行直观分析，第9号试验的试验指标（肌苷产量）最好，其对应的条件即为较优的工艺条件。直接分析法回归分析法利用Excel回归分析工具软件，处理表7-10数据，以获得最优回归方程。①建立最优回归方程1122mmybbxbxbx设：拟构造的线性回归方程有如下形式：试验号x1x2x3x4x5y18.50.31.71.20.8520.87290.421.450.6517.1539.50.52.31.15121.094100.61.51.40.823.6510.50.71.81.10.623.486110.252.11.350.9523.4711.50.352.41.050.7517.878120.451.61.30.5526.17912.50.551.910.926.7910130.652.21.250.714.8