第三章一元一次方程复习与小结

第三章一元一次方程复习与小结一元一次方程概念解法应用使方程等左右两边相等的未知数的值一元一次方程方程的解方程未知数的次数都是1只含有一个未知数整式方程含有未知数的等式去分母依据等式的性质2去括号依据分配律移项依据等式的性质1分配律的逆用合并同类项依据等式的性质2系数化为1球赛积分表问题油菜种植的计算销售中的盈亏问题关键是找出实际问题中的等量关系等式的性质1.什么叫方程？含有未知数的等式叫做方程.注意：判断一个式子是不是方程，要看两点：一是等式；二是含有未知数.二者缺一不可.知识点复习一：方程与方程的解2.什么是一元一次方程？只有一个未知数一元一次方程未知数的次数为1分母不含有字母4.方程的解与解方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0（a≠0）一元一次方程的最简形式是：ax=b（a≠0）一元方程的解也叫方程的根3.一元一次方程的标准形式和最简形式（2）求方程的解的过程叫解方程.（1）使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫方程的解1.下列各式中，是方程的是（）A．x+3B．x–20C．2x+7=3D．2+3=5c212.在下列方程中哪些是一元一次方程（）（1）3x+5=12；（2）+=5；（3）2x+y=3；（4）y2+5y－6=0；（5）=2.练习一C（1）、（2）4.若是一元一次方程，则n=.05374nxx+2=023.写一个解为x=-2的一元一次方程是,6.若x＝－3是方程x＋a＝4的解，则a的值是.5.方程x＋8＝4的解是.7x=-4等式性质有哪些？并以字母的形式表示出来等式性质1：如果a=b，那么a+c=b+c需注意的是“同一个数，或同一个式子”。知识点复习二：等式的性质等式性质2：如果a=b，那么ac=bc如果a=b，那么（c≠0）需注意的是“两边都乘，不要漏乘”；“同除一个非0的数”1.大家判断一下，下列方程的变形是否正确？练习二×√×√（3）由y=0,得y=2（2）由7x=-4,得x=-（1）由3+x=5,得x=5+3（4）由3=x+2,得x=3-23.已知x=y，下列变形中不一定正确的是（）A.x-5=y-5B.-3x=-3yC.mx=myD.2.若a+2b=x+10，则2a+2b=x+10+.22xyccaD4.若方程与的解相同，求a的值.5.已知方程4x+2m=3x+1的解与方程3（x+1）=6x+3的解相同（1）求m的值（2）求（m+2）2·（2m-）36.关于x的方程2（x-1）=3m-1与3x+2=-2（m+1）的解互为相反数，求m的值解方程去括号，得移项，得合并同类项，得化系数为1，得解：去分母，得18x+3（x-1）=18-2（2x-1）18x+3x-3=18-4x+218x+3x+4x=18+2+325x=23x=知识点复习三：解一元一次方程3x+=3-解一元一次方程的一般步骤、依据和注意：解题步骤变形依据注意事项去分母等式性质2①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式，要加上括号去括号①分配律；②去括号法则①不要漏乘括号内的每一项；②括号前为“－”号时，不要忘了①移项要变号；②一般将未知数移到左边，将常数项移到右边；③不要漏项系数相加时，字母及指数不变①系数为整数时宜用除法；②系数为分数时要乘系数的倒数移项等式的性质1合并同类项合并同类项法则化系数为1等式的性质2练习三解方程：（1）1-=（2）=2-131310129343910412)3(3)52(212解：436521)1(xxxxxxxxxx917179252054552042)1(520)21(2解：212521)2(xxxxxxxxxx实际问题解方程一元一次方程的解（x=a)实际问题的答案一元一次方程设未知数根据相等关系列方程抽象为数学模型回归于实际问题检验知识点复习四：列方程解应用题1.用一元一次方程解决实际问题的基本过程分别是什么？2.用方程解实际问题的基本过程：（1）审：审题，分析题目中的数量关系；（2）设：设适当的未知数，并表示未知量；（3）列：根据题目中的数量关系列方程；（4）解：解这个方程求未知数的值；（6）答：写出答案.（5）检：检验所求的解是否符合题意和实际意义；基本数量关系式1.相遇问题:s甲+s乙=s总=速度和×相遇时间2.追及问题：同地：s先=s后，不同地：s后－s前=s间3.环形跑道问题：逆向跑：s甲+s乙=一圈的路程同向跑：s快－s慢=一圈的路程4.流水行船问题：顺水速=静水速+水速逆水速=静水速-水速行程问题练习1.王力骑自行车从A地到B地，陈平骑自行车从B地到A地，两人都沿同一条公路均速前进,已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12时，两人又相距36千米.求A,B两地的距离.解：设AB相距x千米答：AB相距108千米根据题意，得解得x=108A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后两车相距80千米？线段图分析：甲乙AB80千米第一种情况：A车路程＋B车路程＋相距80千米=相距路程相等关系：总量=各分量之和50x+30x+80=240240千米x=250x30x变式练习A、B两车分别停靠在相距240千米的甲、乙两地，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米。若两车同时相向而行，请问B车行了多长时间后两车相距80千米？线段图分析：甲乙AB80千米第二种情况：A车路程＋B车路程-相距80千米=相距路程50x+30x-80=240240千米x=450x30x2.小刚和小强从A,B两地同时出发,小刚骑自行车,小强步行,沿同一条路线相向匀速而行.出发后2h两人相遇，相遇时小刚比小强多行进24km,相遇后0.5h小刚到达B地.两人的行进速度分别是多少?相遇后经过多少时间小强到达A地?解：设小强每小时行x千米,小刚每小时行x＋12千米.根据题意，得2x＝(x＋12)×0.5解得x＝4则4＋24÷2＝1616×2÷4＝8答：小强的速度是每小时4千米,小刚的速度是每小时16千米.相遇后经过8小时小强到达A地.3.运动场的跑道一圈长400米,小健练习骑自行车,平均每分骑350米,小康练习跑步.平均每分跑250米,两人从同一处同时反向出发,经多长时间首次相遇?又经多长时间再次相遇?运动场的跑道一圈长400米,小健练习骑自行车,平均每分骑350米,小康练习跑步.平均每分跑250米,两人从同一处同时同向出发,经多长时间首次相遇?又经多长时间再次相遇?变式4.甲乙两列火车的长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒多行4米.（1）若两列火车相向而行，从相遇到全部错开需9秒钟，问：两车的速度各是多少？（2）若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追击到甲车完全超过乙车，需要多少秒钟？分析：这是一道涉及相遇与追及问题的创新题，关键是弄清甲、乙两车行程间的关系。第（1）题中的等量关系是：甲车行程＋乙车行程=甲车长＋乙车长第（2）题中的等量关系为：甲车行程－乙车行程=甲车长＋乙车长解：（1）设乙车速度为xm/s，则甲车速度为(x+4)m/s根据题意得：9(x＋4)＋9x＝144＋180解得：x＝16，则x＋4＝20答：甲车速度为20m/s，乙车速度为16m/s。（2）设同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车需y秒，依题意得：20y－16y＝144＋180解得：y＝81答：同向行驶，甲车从追及乙车车尾到全部超过乙车需81秒钟。下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同课外小组活动总时间/h文艺小组活动次数科技小组活动次数九年级八年级七年级12.510.574333请将九年级课外兴趣活动小组次数填入上表.表格问题：解：设文艺小组每次活动时间为x小时，则科技小组每次活动时间为=3.5-x小时根据题意，得4x+3(3.5-x)=12.5解得：x=23.5-2=1.5小时设九年级文艺小组活动次数为y次，则科技小组活动次数为,只有当y=2时，科技小组活动次数为才为整数值2因此，九年级文艺小组活动次数为2，科技小组活动次数为2工程问题中的数量关系：（1）工作效率=工作总量完成工作总量的时间———————————（2）工作总量=工作效率×工作时间（3）工作时间=工作总量—————工作效率（4）各队合作工作效率=各队工作效率之和（5）全部工作量之和=各队工作量之和解：（1）设两工程队合作需要x天完成.（2）设修好这条公路共需要y天完成。等量关系：甲30天工作量+乙队y天的工作量=1答：两工程队合作需要48天完成，修好这条公路还需75天.等量关系：甲工作量+乙工作量=1依题意得11180120xx依题意得1130180120y解得y=75x=48例：修筑一条公路，甲工程队单独承包要80天完成，乙工程队单独承包要120天完成（1）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？（2）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？一件工作，甲独做15天完成，乙独做30天完成，甲先做5天之后乙又做了10天，剩余工作由甲、乙二人合作完成，需几天？练习=售价—进价利润利润率=进价利润×100%售价＝标价×打折数10进价售价=+进价×利润率打折销售问题销售额=销售价×销售量销售总利润=（销售价-进价）×销售量=销售额-总成本例：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利12.5%，若货品进价为380元，则标价为多少元？两个等量关系式：解：若设标价为x元.根据题意，列方程得：90%x-380=380×12.5%等量关系中的利润相等售价=标价的九折2.某商场共出售甲、乙两种商品共50件，该50件商品总进价108000元，其中商品甲每件进价1800元，出售后获利200元；商品乙每件进价2400元，出售后获利300元。问该商场出售这50件商品共获利是多少元？解：设出售甲种商品x件，则乙种商品（50-x）件，根据题意，得.解之得x=20答：商场出售这50件商品共获利13000元。∴50-x=30∴50件共获利=20×200+30×300=130001800x+2400（50-x）=1080003.现对某商品降价20%促销,为了使销售总金额保持不变,销售量要比按原价销售时增加百分之几?解：设销售量要比按原价销售时增加x(1-20%)(1+x)=1解得x=25%答：销售量要比按原价销售时增加25%.等量关系：原价销售与促销总金额相等原价销售总金额=原价×销售量（件数）促销销售总金额=促销价×销售量（件数）把原价当作1,则促销价=1×（1-20%）把原价销售量当作1,则促销价销售量为1×（1+x）1.某会议厅主席台上方有一个长12.8m的长条形(矩形)会议横标框，铺红色衬底．开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上．但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空:字宽:字距=9:6:2，如图所示．根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少?比例分配问题解：设边空、字宽、字距分别为9x(cm)、6x(cm)、2x(cm)，根据题意，得2×9x+18×6x+（18-1)×2x=1280解得x=8则9x=726x=482x=16∴边空为72cm，字宽为48cm，字距为16cm.分析：边空2个，字宽18个字距17个2.我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、硫磺、木炭三种，原料按15：2：3的比例配制而成，现要配制这种火药150公斤，则这三种原料各需要多少公斤？解：设需要硝酸钠15x公斤，硫磺2x公斤，木炭3x公斤依题意得：15x+2x+3x=150x=7.515x=15×7.5=112.52x=2×7.5=153x=3×7.5=22.5答：硝酸钠应取112.5公斤，硫磺取15公斤，木炭应取22.5公斤。增长率问题例：某工厂食堂第三季度一共节煤740