2--矩阵--加法与数乘

矩阵matrix183351543214314321xxxxxxxxxxx矩阵的概念线性方程组变量的系数可排成一个3行4列的矩形阵列：118351011151加常数项有无解，由变量的系数和常数项决定。对方程组有无解的研究可转为对上述矩形阵列的研究。例131183351543214314321xxxxxxxxxxx线性方程组系数矩阵：118351011151增广矩阵：131118351011151例3种产品，4个季度的产值也可用一个4行3列的矩形阵列（或矩形表）来描述：827088907590857098755880季度产品从该矩形表上可以看出产值在不同季度的分布。矩阵的定义定义由m×n个数排成的m行n列的表（即阵列）mnmmnnaaaaaaaaa.........212222111211称为一个m行n列矩阵，称m×n为该矩阵的“大小”或者“类型”。mnmmnnaaaaaaaaa212222111211或ija其中表示第i行第j列处的元素。nm简称为矩阵，矩阵的大小一个m行n列矩阵，称m×n为该矩阵的“大小”或“类型”。nm简称为矩阵，这里，m×n中的符号“×”仅仅是一个记号，并不表示要将m,n两个数乘起来。比如两个矩阵，其中一个为3行4列，大小为3×4；另一个矩阵为6行2列，大小为6×2.这是两个大小互不相同的矩阵。矩阵的记法(1)A，B，C，......(2)，，，......)(ija)(ijb)(ijc(3)，nmAAnmija)(例：642531D(小括号和中括号是矩阵的标志性符号)642531D定义),,2,1;,,2,1(,)(,)(njmibabBaAijijnmijnmij＝且若相等，与矩阵则称矩阵BABA记为：矩阵相等根据定义，两个矩阵相等，是指这两个矩阵大小相同，且对应位置的元素相同。•所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O或者0.例如00000032O特殊矩阵：•行（列）矩阵：;21naaambbb2100000023O只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。≠•当m=n时，称矩阵为n阶矩阵或n阶方阵。例541432121A是三阶矩阵。一阶（m=n=1)矩阵可以看作一个数。方阵就是行数和列数相同的矩阵。•矩阵运算---负矩阵（类似于向量的负向量）：则定义A的负矩阵为).(ijaA定义：),(ijaA若例：.010321101010321101矩阵的运算数的运算加法减法乘法除法矩阵的运算加法减法•数乘矩阵•矩阵乘矩阵无在学习矩阵的运算及性质时，要注意与数的运算及性质对比，哪些相同，哪些不同。例甲、乙两个厂的四种产品，四个季度的产值分别如矩阵A、B，80827088909075908485709878755880A季度产值80807080908065708075708072655070B则总和160162140168180170140160164160140178150140108150BA1.矩阵的加法定义设矩阵mnmmnnaaaaaaaaaA.........212222111211与mnmmnnbbbbbbbbbB.........212222111211是两个m×n矩阵，将其对应元素相加，得到一个新的m×n矩阵：mnmnmmmmnnnnbababababababababaC.........221122222221211112121111则称矩阵C为矩阵A与B之和，记作C=A+B.注意：不是任意两个矩阵都能够相加。若两个矩阵的行数不同，则不能相加；若列数不同，也不能相加。只有在两个矩阵的类型（即大小）相同时，这两个矩阵才能相加。例：.51311975059483726150098765543210由负矩阵可定义矩阵减法：设A、B为类型相同的矩阵，则A与B的差，即矩阵减法：)()(ijijbaBABA2.矩阵的数乘定义设是一个矩阵，k是一个数，则称矩阵nmijaAnmmnmmnnkakakakakakakakaka.........212222111211为数k与矩阵A的乘积(矩阵的数乘)，记为kA.nmijnmijkaakkA)()(即例：.151296305343332313035432103例有4名学生，3门课757466969392708078958690727060979598768583979094平时成绩8080701009090708080908090期末成绩期中成绩总成绩中,分别占10%、20%和70%D=0.1C+0.2B+0.7A0.1+0.2+0.79.748.732.656.961.93932.71812.799.942.868.90总成绩矩阵矩阵的加(减)法与数乘统称为矩阵的线性运算。例91831215636336145212139183121563639183121561213线性运算的8个基本性质（运算律）设A、B、C、0为同型矩阵，k，l为数，则有加法数乘；0)(4AA；kBkABAk)(6；lAkAAlk)(5；AkllAk)()(7.18AA；AA03；)()(2CBACBA；ABBA1与向量或者数的运算律相同。交换律结合律例已知.,2612379154257,864297510213XBXABA求且解27212244446421)(21ABX12712111222232