47换元积分法

问题xdx2cos,2sinCx解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令xt2,21dtdxxdx2cosdttcos21Ctsin21.2sin21Cx一、第一类换元法设)(uf具有原函数，dxxxf)()]([)(])([xuduuf第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将dxxg)(化为.)()]([dxxxf观察重点不同，所得结论不同.)(xu可导，则有换元公式定理1例1求.2sinxdx解（一）xdx2sin)2(2sin21xxd;2cos21Cx解（二）xdx2sinxdxxcossin2)(sinsin2xxd;sin2Cx解（三）xdx2sinxdxxcossin2)(coscos2xxd.cos2Cx例2.求解:令,bxau则,ddxau故原式=muuad1a1Cumm111注:当时dxbaxf)(baxuduufa])([1一般地例3求.)ln21(1dxxx解dxxx)ln21(1)(lnln211xdx)ln21(ln21121xdxxuln21duu121Culn21.)ln21ln(21Cx利用第一换元积分法计算不定积分的关键在于将被积表达式()[()](),hxdxfxdx变形凑成因此第一换元积分法又称为凑微分法。在求不定积分时，首先要与已知的基本积分公式对比，利用简单的变量代换，把要求的不定积分“凑成”公式中已有的形式，求不定积分后，把原来的变量换回。凑微分没有一般规律，但记住下列一些常用的微分变形还是有益的。2211111(),,ln,2dxdaxbxdxdxdxdxdxdaxxx12,,sinxxdxdxedxdecosxdxdxx2211sins,t,tansinxdxdcoxdxdcoxdxdxxcosx例4求.)1(3dxxx解dxxx3)1(dxxx3)1(11)1(])1(1)1(1[32xdxx221)1(2111CxCx.)1(21112Cxx例5求.122dxxa解dxxa221dxaxa222111axdaxa2111.arctan1Caxa例6求.25812dxxx解dxxx25812dxx9)4(12dxx13413122341341312xdx.34arctan31Cx例7求.11dxex解dxex11dxeeexxx11dxeexx11dxeedxxx1)1(11xxededx.)1ln(Cexx例8求.)11(12dxexxx解,1112xxxdxexxx12)11()1(1xxdexx.1Cexx例9求.12321dxxx原式dxxxxxxx123212321232dxxdxx12413241)12(1281)32(3281xdxxdx33112321.1212xxC例10求解.cos11dxxdxxcos11dxxxxcos1cos1cos1dxxx2cos1cos1dxxx2sincos1)(sinsin1sin122xdxdxx.sin1cotCxx例11求解.cossin52xdxxxdxx52cossin)(sincossin42xxdx)(sin)sin1(sin222xdxx)(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12求解.2cos3cosxdxx)],cos()[cos(21coscosBABABA),5cos(cos212cos3cosxxxxdxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxxxxsin11sin1121例13.求解法1xxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动目录上页下页返回结束xxtansec解法2xxtansec)tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx同样可证xxdcscCxxcotcscln或Cx2tanln解例14设求.,cos)(sin22xxf)(xf令xu2sin,1cos2ux,1)(uufduuuf1)(,212Cuu.21)(2Cxxxf例15求解.2arcsin412dxxxdxxx2arcsin41222arcsin2112xdxx)2(arcsin2arcsin1xdxlnarcsin.2xC小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元等xx22cossin1万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如问题?125dxxx解决方法改变中间变量的设置方法.过程令txsin,costdtdxdxxx251tdtttcossin1)(sin25tdtt25cossin（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()]([)(xu若所求积分xxxfd)()]([易求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(uufd)(定理2.设是单调可导函数,且具有原函数,.)()(1的反函数是其中txxt则有换元公式例16求解).0(122adxax令taxtantdtadx2secdxax221tdtata2secsec1tdtsecCtt)tanln(sectax22ax.ln22Caaxax2,2t例17求解.423dxxx令txsin2tdtdxcos22,2tdxxx234tdtttcos2sin44sin223tdtt23cossin32tdttt22cos)cos1(sin32tdttcos)cos(cos3242Ctt)cos51cos31(3253t2x24x.4514345232Cxx说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectax积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例19求dxxx251（三角代换很繁琐）21xt令,122tx,tdtxdxdxxx251tdttt221dttt1224Cttt353251.1)348(151242Cxxx解例20求解.11dxexxet1令,12tex,122dtttdxdxex11dtt122dttt1111Ctt11ln.11ln2Cxex,1ln2tx说明(3)当分母的阶较高时,可采用倒代换.1tx例21求dxxx)2(17令tx1,12dttdxdxxx)2(17dtttt27121dttt7621Ct|21|ln1417.||ln21|2|ln1417Cxx解例22求解.1124dxxxdxxx1124令tx1,12dttdxdxttt22411111（分母的阶较高）dttt231222121dttt2tuduuu121duuu11121)1(11121uduuCuu11313.1131232Cxxxx说明(4)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）lkxx,,ntxn例23求.)1(13dxxx解令6tx,65dttdxdxxx)1(13dtttt)1(6235dttt2216dttt221116dtt21116Ctt]arctan[6.]arctan[666Cxx基本积分表;coslntan)16(Cxxdx;sinlncot)17(Cxxdx;)tanln(secsec)18(Cxxxdx;)cotln(csccsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa;ln211)22(22Cxaxaadxxa;arcsin1)23(22Caxdxxa.)ln(1)24(2222Caxxdxax;ln211)21(22Caxaxadxax三、小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)思考题求积分.)1(ln)ln(dxxxxp思考题解答dxxxxd)ln1()ln(dxxxxp)1(ln)ln()ln()ln(xxdxxp1,)lnln(1,1)ln(1pCxxpCpxxp一、填空题：1、若CxFdxxf)()(而)(xu则duuf)(_______________；2、求)0(22adxax时，可作变量代换_____________________，然后再求积分；3、求dxxx211时可先令x_________；4、dxx_____)1(2xd；5、dxex2___)1(2xed；6、xdx____)ln53(xd；练习题7、291xdx=____)3arctan(xd；8、21xxdx____)1(2xd；9、dtttsin_________________；10、222xadxx_______________.二、求下列不定积分：（第一类换元法）1、dxxaxa；2、)ln(lnlnxxxdx；3、221.1tanxxdxx；4、xxeedx；5、dxxx321；6、dxxxx4sin1cossin；7、dxxxxx3cossincossin；8、dxxx2491；9、dxxx239；10、)4(6xxdx；11、dxxxx)1(arctan；12、dxxexxx)1(1；13、dxxx2arccos2110；14、dxxxxsincostanln.三、求下列不定积分：（第二类换元法）1、21xxdx；2、32)1(xdx；3、xdx21；4、dxxaxx2；5、设xdxntan,求证：21tan11