第二章静电场恒定电场和恒定磁场

第二章静电场、恒定电场和恒定磁场2.1静电场的基本方程1.真空中的高斯定理式（2.7）中∑q为闭合曲面S所包围的自由电荷总电荷量。真空中的高斯定理表明，穿过任意一个高斯面的电场强度通量等于该闭合曲面所包围的自由电荷的总电量与真空中介电常数的比值。2.电介质所谓电介质就是不导电的介质，如空气、纯净水、玻璃、橡胶等，它们的特点是绝大部分电荷处于束缚状态，不像导体内有自由移动的电子。图2.1电介质的极化式中电位移矢量为介质中的高斯定理表示为在线性的各向同性的电介质中例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。解（1）球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面，如图2.2所示。由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以图2.2（2）在球外，高斯面为半径为r的球面，则高斯面包围的自由电荷即是Q，即∑q=Q所以例2.2电介质中有一无限长带电直线，其线电荷密度为ρl,求空间任意一点的电场强度，电介质的相对介电常数为εr。解:做高斯面S如图2.3所示，由对称性可知电场强度E只有er分量Er,而分量、ez分量Ez被抵消了，均为零。图2.3在点电荷q的电场中任取一条曲线上的连续A、B两点，如图2.4所示，则静电场E（r）沿此曲线的线积分为图2.4静电场的线积分例2.3在静电场中,把带电量为-2μC的电荷从A(2,1,-1)点移到B(8,2,-1)点。求沿下列路径移动时电场力所做的功，如图2.5所示。图2.53.静电场环量定理（1）沿l1路径：（2）沿l2路径：A→C→B。4.静电场的基本方程人们把静电场的高斯定理和环量定理称为静电场的基本方程的积分形式静电场基本方程的微分形式解:根据静电场的基本方程微分形式可知例2.4已知在自由空间球坐标系中电场分布为求空间各点的体电荷密度分布。2.2电位和电位方程1.电位静电场是无旋的矢量场，因此可以引入一个标量函数，这个标量函数称为电位函数φ有如下关系：设在空间两点A、B，则它们的电位差为两点之间的电位差通常称为电压。如果选取B点为电位参考点，即=0，则A点的电位为例2.5对于例2.1求出球体内、外任意一点的电位。解:选取无穷远点为电位参考点则球体外半径为r的A点的电位为在球面坐标系中对于球体内半径为r的点A′，其电位为2.电位方程泊松方程:拉普拉斯方程泊松方程在无界空间内，已知场源电荷分布，可根据场源积分法算出电位。那么对于连续带电体，则可以取一电荷元dq，求出dq产生的电位，然后进行积分式中，R为场点和源点的距离；τ′为源点的区域。对于体分布、面分布、线分布情况的电位分别表示为体分布：面分布：线分布：(2.25)(2.26)(2.27)例2.6在空气中，半径为a的圆平面上均布面电荷密度为ρs的电荷（ρs为常数）。求在圆平面中心垂直轴线上任意点处的电位和电场强度。解:由式(2.26)可知如图2.6所示，对上式求负梯度即得到电场强度E(z)，由对称性可知E(z)只有ez分量，所以图2.62.3静电场的边界条件式(2.32)和式(2.33)是分界面上E的切向分量的边界条件。下面讨论两种典型的边界条件（1）两种电介质的边界在两种不同介质的分界面上，没有自由电荷，即=0，所以式（2.30）和式(2.32)变为D1n=D2n(2.34)E1t=E2t(2.35)式(2.34)还可写成电场强度法向分量的形式，即ε1E1n=ε2E2n(2.36)由于两种电介质ε1≠ε2，电场强度的法向分量在介质分界面上是不连续的。这是因为电场对电介质产生极化作用，而使在两种不同的分界面上产生极化面电荷。s（2）电介质和导体的边界导体是一种自身带有大量自由电荷的物质，在导体内部电场强度处处为零。设第一种媒质为电介质，第二种媒质为导体，则D2n=0，E2t=0，所以电介质与导体的边界条件为以上两式说明，在导体表面的电介质中，电场强度没有切向分量，只有法向分量，即电场垂直于导体表面，且导体表面上由于静电感应的自由面电荷密度等于导体表面上电介质中电位移矢量的大小。例2.8两块导电平板平行放置，其间填充厚度分别为d1、d2的两层电介质，相对介电常数分别为和，如图2.10所示。两导电板间的电压为U，忽略边缘效应，求它们之间电场强度及电荷分布。解:忽略边缘效应，近似认为导体板数靠近电介质1或电介质2一侧的表面的电荷是均匀分布的。这样在两种介质中的电场都是均匀的。1r2r图2.10图2.11在电介质1和电介质2的分界面上无自由电荷，即ρs=0，但存在着极化电荷，极化面电荷密度为2.9在两种各向同性的电介质分界面两侧，电场强度在电介质1中与法线的夹角为，在电介质2中与法线的夹角为，如图2.11所示，试推导、与、之间的关系。qC12211r2r解:由边界条件可知，界面上没有自由电荷，所以有2.4导体系统的电容和静电场的能量1.电容的概念电容可定义为qC(2.39)电容的单位是法拉(F)，实际使用时经常用到微法（μF）或皮法(pF)两个导体在线性介质中，带有等量的异性电荷q和-q，两个导体间的电位差（也就是电压）为U，则这两个导体组成的导体系统的电容为C=q/U(2.40)也与两个导体的几何形状、大小、它们之间的距离和周围的电介质有关。两个导体组成的导体系统常称为电容器，通过设计两个导体的几何形状、大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它们之间充满相对介电常数为的电介质，球外为空气。求该导体系统的电容。解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为r(2.41)例2.11在例2.10中，导体球带电荷q1，导体球壳带电荷q2，设无限远为电位参考点，求导体系统的部分电容。对于两个以上导体组成的多导体系统，由于其中每一个导体上的电位要受到其余多个导体电荷的影响，情况非常复杂。2.多导体系统的部分电容3.静电场的能量带电体系具有能量（1）有一个体电荷密度为ρ的连续带电体，电位函数为φ。带电系统的静电场能为vedVW21vedVW21（2）对于多导体系统例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存的电场能量。图2.162.5恒定电场在导体中电荷在电场作用下运动而形成电流，如果电流密度不随时间发生变化，那么就形成了恒定电场.对于恒定电场有根据高斯散度定理，它的微分形式为欧姆定律的微分形式为(2.54)(2.55)(2.56)在均匀导电媒质中，，于是有0(2.57)式(2.54)和式(2.63)称为恒定电场的基本方程，式（2.57）和式(2.64)称为恒定电场基本方程的微分形式。（2.65）焦耳定律由恒定电场的基本方程的积分形式可以得出恒定电场的边界条件（证明方法与静电场的边界条件相同）：其矢量形式分别为例2.15平行板电容器中填充两层介质，介电常数和电导率分别为、和、，如图2.18所示。在外加电压U时，求：（1）导线中通过的电流；（2）在交界面上积聚的自由面电荷密度。1221解（1）近似认为平行板电容器由理想导体构成，极板面积S很大，可忽略边缘效应，故电容器极板的电荷均匀分布，在充电结束后不随时间发生变化，极板间形成恒定电场。设导线中的电流为I，也就是在介质中S面上流过的电流为I，有可见，在介质1和介质2的交界面上存在着自由电荷。这一点与理想介质不同，对于介质1和介质2都是理想介质，无漏电流，所以交界面的自由面电荷密度为零。2.6恒定磁场的基本方程1.磁通连续性方程恒定电流产生磁场称为恒定磁场，它是不随时间发生变化的。在恒定磁场中任意取一个曲面S，由矢量通量的定义可知，在S为m2.安培环路定理3.磁介质把磁介质放入磁场中，这个磁介质被磁场所磁化，引入磁场强度H：磁介质的情况较为复杂，对于弱磁介质是各向同性的磁介质有例2.16有一无限长同轴导体圆柱和圆筒，如图2.20所示，其中通过的恒定电流自内导体流入，外导体流出。已知内导体的半径为a，外导体的内外半径分别为b和c，电流密度在内导体和外导体均匀分布，导体间介质为空气μr=1，导体内的μr也近似为1。求空间任意一点的磁感应强度。图2.202.7矢量磁位式中，A称为矢量磁位，它的引入是为了分析求解某些问题更为方便，计算更为简单。式（2.88）是电流为线分布的情况。如果电流是面分布的，面电流密度为JS，电流是体分布的，体电流密度为J，则矢量磁体相应的关系式为例2.17一段长为2L的直导线，流过的电流为I，把它放置在空气中，求空气中P点的矢量磁位A和磁感应强度B。解:建立坐标系，如图2.21所示，直导线与z轴重合，坐标原点在直导线中点。那么电流元Idl′在P点产生的矢量磁位为图2.21式中，C为常矢量，它的出现不会影响磁感应强度B的计算对式(2.93)还可以直接对偏微分方程求解，但首先需要对式(2.93)在坐标系中展开得到三个分量的泊松方程。例如，在直角坐标系中2.8恒定磁场的边界条件恒定磁场的边界条件是不同的磁介质分界面处，磁感应强度B和磁场强度H的变化规律。首先考虑磁感应强度B，根据磁通连续性方程可以得出B1n=B2n(2.105)用矢量形式表示为en·(B1-B2)=0(2.106)式中，en是分界面法向的单位矢量。在分界面上磁感应强度B的法向分量是连续的。式中，en为界面法向方向的单位矢量。Js⊥是Js在en×(H1-H2)方向的分矢量。还可以得出在介质分界面上，矢量磁位A是连续的。下面考虑磁场强度H，根据安培环路定理得2.9载流回路的电感和恒定磁场能量1.自感回路磁链与回路电流的比值称为自感系数，简称自感。其表达式为L=ψ/I(2.125)在国际单位制中，自感系数L的单位是亨利（H）。自感的大小由回路的大小、几何形状、线圈的匝数以及介质的磁导率有关，而与线圈中流过的电流无关。例2.20两个无限长平行的导线，半径为a，流过的电流为I，如图2.25所示，求在l长度上的外电感。图2.25例2.20用图例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总磁链为图2.262.互感有两个回路l1和l2，如图2.27所示。如果第一个回路电流I1产生的磁场与第二个回路相交链的磁链为ψ12，则把ψ12与I1的比值定义为互感系数M12，即M12=ψ12/I1(2.128)同样，第二个回路电流I2产生的磁场对第一个回路相交链的磁链ψ21与I1的比值定义为互感系数M21，即M21=ψ21/I2(2.129)互感系数简称为互感，单位也是亨利（H），互感决定于回路的形状、大小、匝数和介质的磁导率，还与两个回路的相互位置有关。但是回路固定时，是与电流无关的常数。互感具有互易性质，即M12=M21=M(2.130)图2.273.恒定磁场的能量电流回路系统的能量是建立电流的过程中由电源供给的，电源克服电流回路系统的感应电动势而做功，所做的功将以磁场能量的形式储存在电流回路系统产生的磁场之中。现在考虑有N个回路的电流回路系统电流回路系统的能量是储存在这些回路产生的磁场中，在磁场空间呈现一定的分布，为了描述磁场能量在空间的分布，人们引入磁场的能量密度例2.23求例2.16的同轴导体圆柱的圆筒。(1)长度为l的同轴导体圆柱和圆筒之间的空间储存的磁场能量；（2）长度为l的同轴导体圆柱和圆筒储存的总的磁场能量；（3）单位长度的同轴导体圆柱和圆筒的电感L。