曲线与方程公开课

第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程（1）求第一、三象限里两轴间夹角平分线的坐标满足的关系第一、三象限角平分线点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x-y=0）l得出关系：lx-y=0xy0（1）l上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上.l曲线条件方程分析特例归纳定义曲线和方程之间有什么对应关系呢？（2）函数）0(2a＞axy的图象是关于y轴对称的抛物线这条抛物线的方程是）0(2a＞axy·0xy）0(2a＞axyM满足关系：（1）如果)y,x(00),(00yx是抛物线上的点，那么一定是这个方程的解),(00yx（2）如果是方程）0(2a＞axy的解，那么以它为坐标的点一定在抛物线上分析特例归纳定义（3）说明过A（2，0）平行于y轴的直线与方程︱x︱=2的关系①、直线上的点的坐标都满足方程︱x︱=2②、满足方程︱x︱=2的点不一定在直线上结论：过A（2，0）平行于y轴的直线的方程不是︱x︱=20xy2A分析特例归纳定义•给定曲线C与二元方程f（x，y）=0，若满足•（1）曲线上的点坐标都是这个方程的解•（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点•则这个方程f（x，y）=0叫做这条曲线C的方程•这条曲线C叫做这个方程的曲线定义说明：1、曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形f（x，y）=00xy分析特例归纳定义练习1:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，不具备完备性，应为x=3,(2)不正确,不具备纯粹性，应为y=±1.(3)正确.(4)不正确,不具备完备性,应为x=0(-3≤y≤0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1(4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0练习2:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0;(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221y⑴⑵⑶不是不是是练习3:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？①-=0xy|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD①表示B②表示C③表示Dy55-50xy5-50xy-55-5xy55-5x变式训练：写出下列半圆的方程例题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程?||||MBMAMP2222)7()3()1()1(yxyx.由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：x+2y－7=0解：设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合例题1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.经检验该方程为所求的线段AB的垂直平分线的方程这种求曲线的方程的方法叫：直接法发散1：已知线段AB长为5，动点P到线段AB两端点的距离相等，求动点P的轨迹方程。思考1.与例1相比，有什么显著的不同点？2.你准备如何建立坐标系，为什么？3.比较所求的轨迹方程有什么区别？从中得到什么体会?（1）没有确定坐标系时，要求方程首先必须建立坐标系；（2）同一条曲线，在不同的坐标系中可能有不同的方程；（3）坐标系选取适当，可以使运算简单，所得的方程也比较简单。你能说出它的轨迹吗？求曲线方程的一般步骤：1.建系设点－－建立适当的直角坐标系，用有序实数对（x,y）表示曲线上任一点M的坐标；（如果题目中已确定坐标系就不必再建立）2.寻找条件－－写出适合条件P的点M的集合3.列出方程－－用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0；4.化简－－化方程f(x,y)=0为最简形式；5.证明－－证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。(不要求证明，但要检验是否产生增解或漏解.)发散2：△ABC顶点B、C的坐标分别是（0，0）和（4，0），BC边上的中线长为3，求顶点A的轨迹方程。以这个方程的解为坐标的点是否都在曲线上？xBCyA(x－2)2+y2=9(x≠5且x≠-1)例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是xy=±k.的解。是方程即所以轴的距离为与轴的距离为与因为点是轨迹上的任意一点，如图，设证明：kxyyxkyxxyyxMyxM),(,,,),()1(00000000oyxMkyxkyxkxyyxM1111111,),()2(即即的解，是方程的坐标设点是曲线上的点。点是常数到两条直线的距离的积因此点到纵轴、横轴的距离，正是点而11111,,MkMMyx的点的轨迹方程。的积为常数。是与两条坐标轴的距离可知，由)0()2(),1(kkkxy例2.已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：2MFMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx2)列式3）代换4)化简5）审查(0,2)AMB1）建系设点因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，