3_3正交矩阵

§3.3正交矩阵一.向量的内积二.向量的长度与夹角三.向量组的正交规范化四.正交矩阵11.8第十四讲abcosbaba),,(321aaaa),,(321bbbb332211babababa232221aaaababacos推广nR高等数学中:一.向量的内积定义1.设11,,nnxyxy称1(,)nkkkxy为向量,的内积.注:T(,)性质:(1)(,)(,)(2)R,(,)(,)(3)(,)(,)(,)(4)(,)0,(,)00且(对称性)(双线性性)(非负性)二.向量的长度(范数)与夹角定义2.(,)定义为向量α的(1)非负性长度(或范数),长度为1的向量称为单位向量.性质:0,00且(2)正齐次性(3)三角不等式(自阅)21nkkx注意:这是绝对值!平面向量yxxy单位向量举例:,011121若0，则||||1=||||||||1单位化！一个重要的不等式—施瓦兹不等式,（）证:若，线性相关，不妨设=k22,=(,k（））22(,k）(,(,kk））(,(,））,（）若，线性无关，则对任何t，+0.t因此，(,)0tt即2,2(,)(,0tt（））故方程2,2(,)(,0tt（））无解，其判别式小于零，即2[2()]-4(,)()0，，证毕◈施瓦兹不等式的展开形式(,）11,,nnxyxy设则1122nnxyxyxy22212nxxx22212nyyy练习:利用Schwarz不等式证明:xyxy恒等变形（不等式两边平方）2222xyxyxy(,)xyxy左(,)2(,)(,)xxxyyy222xyxy（，）2(,)2xyxySchwarz不等式(0,0)(,),arccos的夹角定义为:,向量定义3.,2非零向量α,β间夹角(,)0规定零向量与α之间的夹角任意(0,)0,(,)0正交例如,110,3,11(,)11031(1)0,.正交三.向量组的正交规范化1,,s两两正交,★若非零向量则称之为正交向量组定理1.1,,Rns为正交向量组1,,s线性无关证:若110.rs1.正交向量组及其性质两边同时和αi作内积，(,)0,ijij注意到（）(,)0.iii0i，0i(1,2,,)is1,,s线性无关.证毕注意:逆命题不成立.例如1211,01线性无关但不正交0,,1,kiikik（）2.线性无关向量组的正交规范化定义4.设12,,,s是一个n维向量组,若(两两正交)(都是单位向量)则称是一个正交规范向量组.1,,,szyxo2e1e21例如,T1212{(,,0),R}Vaaaa3R12100,100ee是V一个正交规范向量组1122111222,00也是一个规范正交向量组3.求规范正交向量组的方法—施米特正交化法设线性无关向量组：1,,,.s第一步.正交化:11取分析:设22112(,)0令1211(,)(,)01222111(,)(,)132333121122(,)(,)(,)(,)121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)sssssssss1221(,)由此可定.第二步.规范化:kkk(1,,)ks例1.设1231142,3,1,110用施米特正交化法将其正交规范化.1231142,3,1,110解:取11,则21622112(,)211311216411135222222525[(1)11]93331213(,)2123(,)22014121621113510122381112,121513131201规范化,得111e12161222e11131333e1012121622253238例2.已知T1(1,1,1),求非零向量23,,使三者两两正交.解:与1正交的向量T123(,,)xxxx应满足:1(,)0,x0321xxx其基础解系可取为:12111,001将它们正交化即得2111,032222(,)220112110121121即222四.正交矩阵定义5.若n阶方阵A满足TAAE则称A为正交矩阵.定理2.A为正交阵1T()AA即12(,,,)nAT1T212T(,,,)TnnAAEA的列向量为正交规范向量组A的行向量为正交规范向量组Tijji,0ji,1TAAE验证下列矩阵是否为正交矩阵:1000cossin0sincos都是正交阵!62316121316121310TAAEA为正交阵A的列向量为正交规范向量组A的行向量为正交规范向量组?A(2)设A,B均为正交方阵,问AB是否为正交阵?T1,AAE,12A即11或AT()()ABABTT()()BAABTT()BAABTBBE所以AB是正交阵.思考:(1)A为正交阵,定义6.若P为正交阵,则称线性变换yPx为正交变换.正交变换的特点:2yTyyT()()PxPxTT()xPPxTxx2x保向量长度不变本章开头,在化二次型为标准形时,希望找不改变向量长度的可逆线性变换,由此处可知,正交变换满足要求.作业P1343;5;8(1)小结1.规范正交向量组的求法—施米特正交化方法2.正交矩阵3.正交变换:A为正交矩阵TAAE1TAAA的列(行)向量组单位正交yPx(P为正交阵)保向量长度不变,22Pxx即