晶格的振动具有波的形式

03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质§3.2一维单原子链晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式——格波格波的研究——先计算原子之间的相互作用力——根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质一维无限原子链——每个原子质量m，平衡时原子间距a——原子之间的作用力第n个原子离开平衡位置的位移第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移第n个原子和第n＋1个原子间的距离03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移后，相互作用势能——常数简谐近似——振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力——平衡条件03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质原子的运动方程——只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力第n个原子的运动方程2112(2)(1,2,3,)nnnndmdtnN——每一个原子运动方程类似——方程的数目和原子数相同03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质方程解和振动频率设方程组的解naq—第n个原子振动位相因子得到224sin()2aqm03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质)(naqtinAe)2(sin422aqm——一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱格波的意义连续介质波波数2q——格波和连续介质波具有完全类似的形式——一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动格波方程03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质——格波的波形图——简谐近似下，格波是简谐平面波)(naqtinAe——向上的箭头代表原子沿X轴向右振动——向下的箭头代表原子沿X轴向左振动03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质格波波长格波波矢格波相速度不同原子间位相差格波方程相邻原子的位相差03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质波矢的取值和布里渊区格波相邻原子位相差——原子的振动状态相同格波2(Green)波矢格波1(Red)波矢相邻原子位相差相邻原子的位相差)2(sin422aqm03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质qaa——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同波矢的取值相邻原子的位相差——第一布里渊区——只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件——一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样——实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原子等价的特点处理问题时要考虑到环链的循环性N很大，原子运动近似为直线运动03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质设第n个原子的位移再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移则有要求hNaq2——h为整数波矢的取值范围03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质22NhNa2NNaa/2/2h—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值——第一布里渊区包含N个状态每个波矢在第一布里渊区占的线度Naq2第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数hNaq2波矢03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质格波的色散关系)2sin(2aqm频率是波数的偶函数色散关系曲线具有周期性03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质——q空间的周期频率极小值0min频率极大值max2/m只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减——一维单原子晶格看作成低通滤波器色散关系03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质格波——长波极限情况当——一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的色散关系一致qVElastic03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质相邻原子之间的作用力格波传播速度/acma连续介质弹性波相速度/ElasticVK——连续介质的弹性模量和介质密度——长波极限下，一维单原子晶格格波可以看作是弹性波——晶格可以看成是连续介质长波极限情况K——伸长模量03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质格波——短波极限情况——一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质短波极限下——相邻两个原子振动的位相相反长波极限下，相邻两个原子之间的位相差03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质长波极限下短波极限下相邻两个原子振动位相差03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质原子位移和简正坐标的关系第q个格波引起第n个原子位移第n个原子总的位移令原子坐标和简正坐标的变换NjjnjnQam31(1/)inaqnqqmNeQ——线性变换为么正变换03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质动能和势能的形式——N项独立的模式，具有正交性动能的正则坐标表示qqQT221势能的正则坐标表示原子位移为实数————正交性03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质势能03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质将代入得到2221qqqQU哈密顿量2221()2qqqqHTUQQ——系统复数形式的简正坐标tiqqqeANmQ系统势能03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质022)]()([21qqbqaT实数形式的简正坐标令0222)]()([21qqqbqaU哈密顿量222220011[()()][()()]22qqqHaqbqaqbq03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质能量本征值qqnnq)21(声子——晶格振动的能量量子；或格波的能量量子一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为当这种振动模处于时，说明有个声子2()exp()()2qqqnqnQH本征态函数——一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数03_02_一维单原子链——晶格振动与晶体的热学性质——声子是一种元激发，可与电子或光子发生作用——晶格振动的问题声子系统问题的研究——每个振动模式在简谐近似条件下都是独立的——声子系宗是无相互作用的声子气组成的系统——声子具有能量_动量，看作是准粒子晶格振动——声子体系