第五节函数的微分

第五节函数的微分内容提要1.微分的概念；2.微分运算法则；3.微分在近似计算中的应用。教学要求1.理解微分的概念，了解微分的几何意义以及微分与可导之间的关系；2.熟悉微分的运算法则；3.会用微分进行近似计算。一、引例例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.20xA0x0x,00xxx变到设边长由,20xA正方形面积2020)(xxxA.)(220xxx)1()2(;,的主要部分且为的线性函数Ax.,很小时可忽略当的高阶无穷小xx:)1(:)2(xx2)(xxx0xx0再例如,.,03yxxxy函数的改变量为时为处的改变量在点设函数3030)(xxxy.)()(3332020xxxxx)1()2(,很小时当x.320xxy),()2(xox的高阶无穷小是既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?定义可以表示与一个比x高阶的无穷小之和则称函数)(xfy=在点0x处可微,称为记为即【注】(1)函数的微分xA是x的线性函数,它与高阶的无穷小（2）当0A时,若函数)(xfy=在0x处的改变量y（A是常数）x为线性函数xA)(xoxAy其中xA是的主要部分,xAy相差一个比xy函数在0x处的微分,)(xfxAdy,dy所以也称微分是的线性主部.ydy二、微分的概念可以用微分dy作改变量y的近似值,即（3）当很小时,||xdyyxA所以函数)(xf在0x处的微分自变量微分所以函数)(xf在0x处微分,又可写成dxxfdy)(0)(0xfAxxfdy)(0xxdxx…………………………)1(…………………………)2(由式可知，)1(可导可微函数)(xf在任意点x的微分，称为函数的微分，记为由此式,可得这表明,函数的导数可以看作函数的微分dy与自变量的微分dx之商,故导数也称微商.dxdyxf)(dxdyxf)(dxxfdy)()(xdfdy或例1求函数在处当时的改变量和微分dy的值.解)()(xfxxfy-+=)1(1)(22+-++=xxx2)(2xxx+=所以21.0=)1.0(1.01221.01+××===xxy而xx=2xxfdy=)(xx+=)1(2所以2.0=1.0121.01××===xxdyy1.0x12xy1x三、微分的几何意义)(xfy0xMNTdyy)(xo）xyox几何意义:(如图).,对应的增量就是切线纵坐标坐标增量时是曲线的纵当dyyxx0P.,,MNMPMx可近似代替曲线段切线段的附近在点很小时当四、微分的运算法则1.基本初等函数的微分公式)(Cdxxtansecxcosx2secx2cscxxcotcscxsinaxln1dxexaaxlndxx1211x211x211x211x1x)(xad)(xed)(logxda)(lnxd)(sinxd)(cosxd)(tanxd)(cotxd)(secxd)(cscxd)(arcsinxd)(arctanxd)(arccosxd)cot(xarcd)(xddxxfdy)(0dxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdxdx2.函数和、差、积、商的微分法则vud)0(v)(Cud)(vud)(uvdudvvdudvduCdu2vudvvdu3．复合函数微分法则当u为自变量时,则函数的微分为当u为中间变量时,设)(xuj=则复合函数的微分为所以上式也可写成不论u是自变量还是中间变量这个性质称为一阶微分形式的不变性.;)(duufdy;)(duufdy;)(duufdy)]([xfyjdxxfdy})]([{j)(ufdxxdu)(j由于(1)对于函数)(ufy(2)对于函数)(ufy)(ufy函数)(ufy)(xjdx例2求xycos=的微分dy解方法一利用微分的定义dxxxsin21-=方法二利用微分形式的不变性来求,把x看作中间变量u,则dxxdy)(cosxsin)(cosuddydxxx21sindxxxsin21xdxsinduusindxxx21sindxxfdy)()(xdx在求复合函数的导数时，可以不写出中间变量，在求复合函数的微分时，也可以不写出中间变量，例3.),1ln(dyeyx求解)]1[ln(xeddyxe11)1(xeddxeexx1例4在括号内填入适当的函数使下列等式成立（1）)(112ddxx=+（2）)(ddxax=解（1）Caaddxaxxln)(arctanx211x)(arctanCxddxx211)()2(xaCxarctanCaaxlnCCaaxlnaCaaaxxlnln小结dydydxdyxf)(导数（微商）微分的运算法则1.基本初等函数的微分公式2.函数和、差、积、商的微分法则3．复合函数微分法则（微分形式的不变性.）?微分的概念dxxf)(0dxxf)(函数f(x)在x0处的微分函数f(x)在某区间内任意点的微分可导可微五、微分在近似计算中的应用当0)(0xf,有y的近似计算公式例5一个边长为cm10的立方体,受热后边长伸长cm001.0,问该立方体的体积大约增加多少？解设立方体的体积为则由近似计算公式,得且很小时,||x0xxdyy001.0100xxdVV公式（1）…………………xxf)(0001.010203xxxx001.01032)(3.03cm001.0x,3xV,100x取的近似值求函数改变量y)1(dVdxx)(3dxx23则上式可化为:处的函数的近似值在求函数xxxfy0)()2()()(00xfxxfy0xxdyy且xxf)(0xxfxfxxf)()()(000,0xxx令,))(()()(000xxxfxfxf……公式（2）xxfxfxxf)()()(000若取则有……………公式（3）xffxf)0()0()(00x.||很小x注意：.||0很小xx注意：例6求05.1arctan的近似值解设函数xxfarctan)(=,代入近似公式得)05.1(f即05.1arctan8104.0=)1(f)1(f0x取x)(xf05.10xxxxfxfxxf)()()(000)1(fxf)1(42105.0,4,112x21,1,05.0求o29sin的近似值解设函数xxfsin)(=,4849.0即29sino)29(f)30(f练习300x取,180x1)(xf21)30(f30sin)30(f30cos232123)180()30(fxxfxfxxf)()()(000,290xx3603180xcos)180(……………公式（3）应用公式（3)可得到以下几个常用的近似公式（这里假设||x很小）（1）xn+1（n为正整数）（2）xsin（x为弧度）（3）xtanx（4）xex+1x（5）x+)1ln(（x为弧度）xffxf)0()0()(xnx1.||很小x注意：xxfsin)(设xxfcos)()0(f)0(fxsinx证(2):01微分在近似计算中的应用小结0xxdyyxxf)(0处的函数的近似值在求函数xxxfy0)(.2xxfxfxxf)()()(000xffxf)0()0()(.3.||很小x注意：（这里假设||x很小）（1）xn+1（n为正整数）（2）xsin（x为弧度）（3）xtanx»x»（5）x+)1ln(xnx1（4）xex1的近似值求函数改变量y.1作业P123习题2-53(1)(2)(3)(4)4(1)(3)(5)(7)