第九单元：股票价格行为

股票价格的行为模型引言①随机过程(解释)离散时间随机过程连续时间随机过程离散变量随机过程连续变量随机过程②随机微积分(解释)例1：一个醉汉在路上行走，以概率p前进一步，以概率1-p后退一步（假定步长相同），以记他在路上的位置，则就是直线上的随机游动。例2：英国植物学家布朗注意到飘浮在液面上的微小粒子不断进行无规则的运动，若记为粒子在平面坐标上的位置，则它是平面上的布朗运动。)(tX)(tX))(),((ttYX①马尔科夫过程:将来与现在有关，与过去无关.②市场弱有效:今天的价格是所有历史信息的反映.1.马尔科夫(Markov)性质①维纳过程（wienerprocess）:马尔科夫过程的特例，也称布朗运动记z为维纳过程，Δz是在Δt时间内z的变化.则性质1:其中，ε是标准正态分布中抽取的一个随机值性质2:对任何不同时间间隔Δt,Δz相互独立.2.维纳过程tz对连续时间随机过程，当Δt趋于零时,过程的极限就是维纳过程，性质1也就是如下形式其中，ε是标准正态分布dzdtdtdz考虑在一段相对长的时间T中z值的增加。表示为z(T)-z(0)。将它看作是在N个长度为的小时间间隔中z的变化的和。其中是从标准正态分布的随机抽样值。的均值=0的方差=TdzdtttTNNiitzTz1)0()(i)0()(zTz)0()(zTz②一般维纳过程其中，a和b是常数，a是漂移项，b是方差项.如何理解漂移项和方差项?dxadtbdzbdzadtdx③Ito过程其中，漂移a(x,t)和方差b(x,t)是x和时间t的函数.如何理解漂移项和方差项?(,)(,)dxaxtdtbxtdzdztxbdttxadx),(),(股票的收益率与股票的价格无关股票的收益率的不确定性与价格无关dSdtdzS3.股票价格的行为过程①无红利支付σ:股票价格的波动率μ:股票的预期收益率dzdtSdS上证指数月线图考虑一种无红利支付的股票，波动率为每年30%，预期收益率为每年15%（连续复利）即：设时间间隔为1星期（0.0192年），股票价格的初始值为100，即：~(,)SttStt均值为，标准差为的正态分布30.0,15.0dzdtSdS30.015.0ttSdS30.015.0100,0192.0St)0416.000288.0(100S16.4288.0S①前述模型也称几何布朗运动，其离散形式为:SttS4.模型回顾~(,)SttStt均值为，标准差为的正态分布dttSS))(,(~2dttNSS②蒙特卡罗模拟假设股票的预期收益率为每年14%，收益率的标准差为每年20%(μ=0.14,σ=0.20)设考虑股票价格在长度Δt=0.01(年或3.65天)的时间的变化,于是即均值为0.0014,标准差为0.02的正态分布~(0.0014,0.02)SS)02.0,0014.0(~2NSS给定初期股票价格(初始值,比如$20.00)产生标准正态随机变量的一个样本v1,计算ΔS/S=v2=0.0014+0.02v1计算下一期股票价格重复上述过程,可以得到股票价格的模拟值注意样本v2的相互独立性,①股票价格过程的两个参数:μ和σ。以年为计量单位②μ与股票收益的风险和利率水平有关③衍生证券的价值与股票收益率μ的大小无关④股票价格波动率σ对衍生证券的价值影响大⑤作为近似，波动率可以被解释为一年内股票价格变化的标准差⑥在一段较长的时间T后股票价格比例变化的标准差并不是5.参数TT任何衍生证券的价格都是标的证券和时间的函数①Ito引理:如果对随机过程x，有6.Ito定理称为Ito过程.其中z为维纳过程dztxbdttxadx),(),(Ito定理如果x服从Ito过程，G是x和t的函数，则有:即G也是Ito过程bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222无红利支付股票的远期合约假设无风险利率为常数，对于所有到期日等于r定义F为远期价格，于是:②Ito引理在远期合约中的应用()rTtFSe)(tTrSeF)(22)(,0,tTrtTrrSetFSFeSF假设S是如下几何布朗运动,()()()rTtrTtrTtdFSerSedtSedz()rTtFSedSSdtSdz用代入，即得:()dFrFdtFdzSdzedtrSeSedFtTrtTrtTr)()()(][)(tTrSeFFdzFdtrdF)(dzdtSdS定义由于22211,,0GGGSSSSt③Ito引理应用于股票价格对数变化lnGS可得212dGdtdzSGln0,1,1222tGSSGSSGdzdtdG)2(2于是，过程G是一般维纳过程，漂移率和方差分别为2122G在t和T之间的变化是正态分布，均值和方差分别为212Tt2Tt))(2(2tT)(2tT)2(22于是，有正态分布))(),)(2((~lnln22tTtTNSST马尔科夫过程维纳过程一般维纳过程Ito过程几何布朗运动,模拟随机过程Ito引理(推导)7.小结一些注释•1.股价行为方程：•A)在很短时间内：•均值=µΔt，方差=σ2Δt•B)在较长时间T内：•均值=µT•方差=σ2TdzdtSdStdttSS2.股价对数的行为方程：•A)在很短时间内：tztS)2(ln2均值=（µ-σ2)Δt21方差=σ2ΔtB)在较长时间T内：均值=（µ-σ2)T,即方差=σ2TTSSETSSETT)21(ln)(ln,)21()(ln2020或者，dzdtSd)2(ln2例子•假设股票初始价格=40，期望收益=16%，波动率=20%。（1）试求6个月末的股价对数分布。（2）在未来6个月内股价范围。•答案:(1)(lnST~N(3.759,0.141)•(2)32.55ST56.56对数正太分布变量性质•若ST满足对数正太分布，且dlns=(µ-0.5σ)dt+σdz•则该变量的期望和方差分别是：•E(ST)=S0eµT•Var(ST)=S0e2µT)1(2Te例子•假设股票初始价格=20元，期望收益=20%，波动率=40%，求一年后的股价期望值和标准差。•答案：期望=24.43元，标准差=10.18元