第5章 多自由度系统的振动

第5章多自由度系统的振动5.1多自由度系统运动微分方程（1）：牛顿力学MqCqKqQ第5章多自由度系统的振动5.1多自由度系统运动微分方程（2）：分析力学I拉格朗日方程——广义坐标；T——系统动能；U——系统势能；Qj——广义力①选取广义坐标；②计算系统动能和势能及其导数、偏导数；③计算广义力；④代入拉格朗日方程。d1,2,,djjjjTTUQtjntqqqjq第5章多自由度系统的振动5.1多自由度系统运动微分方程（3）：分析力学II例系统的自由度数、保守系统与非保守系统第5章多自由度系统的振动5.2无阻尼自由振动·特征值问题（1）：理论无阻尼系统自由振动同步解频率方程矩阵M-1K的特征值对应系统固有频率，而对应于各特征值的特征向量即主振型。I——单位矩阵MqKq0ietqu221orKMu0IMKu02221Δdetdet0KMIMK第5章多自由度系统的振动5.2无阻尼自由振动·特征值问题（2）：理论续矩阵M-1K的特征值或频率方程的根，在质量阵为正定实对称阵，刚度阵为正定或半正定实对称阵时，均为正实数或零，其平方根即为系统固有频率，其中的最小值(1)称为基频。矩阵M-1K的特征向量或系统固有振型不是唯一确定的量，但其各元素之间的比值是固定常数，可以采取某种正则化方法使之成为确定的正则振型，但正则化只是一种规范化处理，并无物理意义。振型正则化的依据：u(r)T·M·u(r)=1,或使振型向量中最大元素的值等于1。第5章多自由度系统的振动5.2无阻尼自由振动·特征值问题（3）：举例第5章多自由度系统的振动5.3振型向量(模态向量)的正交性·展开定理（1）：——固有振型的正交性关于质量阵的正交性关于刚度阵的正交性对于标准正则化的振型向量T0rsrrsMrsuMuT0rsrrsKrsuKuTT2,rsrsrsrsruMuuKu5.3振型向量(模态向量)的正交性·展开定理（2）：——举例Ik1=k2=k3=kα1=0α2=120α3=210单根特征值与特征向量一一对应，并且特征向量之间相互独立。第5章多自由度系统的振动5.3振型向量(模态向量)的正交性·展开定理（3）：——具有重特征值的系统若系统存在n重特征值，则对应于重根的齐次方程的解系描述为注意到：①Cr为n个任意常数，而解空间中任意一组n个相互独立的向量u(r)均可作为对应其n重特征根的固有振型。②固有振型的选择范围随重根数目的增多而扩大。③可以通过要求所有u(r)对M阵和K阵正交对其选择范围加以限制，但仍将存在无穷多组既相互独立又正交的固有振型。1nrrrCuu第5章多自由度系统的振动第5章多自由度系统的振动5.3振型向量(模态向量)的正交性·展开定理（4）：——举例IIm1=m2=m，k1=k2=2k，k3=k，k4=k5=4k。微幅振动时，水平方向和垂直方向的弹簧互不影响，或者说，系统在水平方向和垂直方向的运动不相耦合。第5章多自由度系统的振动5.3振型向量(模态向量)的正交性·展开定理（5）：——模态矩阵——固有振型向量列成的方阵模态或振型矩阵：u=[u(1)u(2)…u(n)]根据振型正交性uTMu=Mr=diag[M1,M2,…,Mn]——模态质量矩阵uTKu=Kr=diag[K1,K2,…,Kn]——模态刚度矩阵Mr——模态（广义）质量，Kr——模态（广义）刚度，r=1,2,…,n对于标准正则化的振型向量，Mr=1，Kr=r2第5章多自由度系统的振动5.3振型向量(模态向量)的正交性·展开定理（6）：——展开定理线性空间u(r)（r=1,2,…,n）中的任意向量假定w已知，则第r阶主振型对w的贡献*对于标准正则化的振型，Mr=1Ti121e,,nrtrnrCCCCqwwuuCC2T2TMKuCQuMKuCuQT1rrrCMuMw第5章多自由度系统的振动5.4半正定系统（1）：定义对于保守系统，其动能为广义速度的二次型，而弹性势能为广义坐标（位移）的二次型。故质量阵一定是正定的，而刚度阵通过规定势能最小值可能为正定或半正定的。半正定系统一定具有不完全约束，并会出现零值固有频率和刚体振型（零振型）。TT11,22TUqMqqKq第5章多自由度系统的振动5.4半正定系统（2）：举例Im1=2m，m2=m动量守恒200mmM2222kkkkK122212110,3;,12kmXX1122112200mXmXmxmx第5章多自由度系统的振动5.4半正定系统（3）：举例II对于同步解对于1=0，[Θ(1)]T=[1,1,1]，有动量矩守恒123000000IIII1111222200kkkkkkkkKIθKθ0ietθΘ232112211223,kIkkkI1122330III第5章多自由度系统的振动5.4半正定系统（3）：向正定系统的转换续举例II，3=−(I11+I22)/I3，作变换代入原特征值问题2I'Θ=K'Θ其中，I‘=rTIr，K'=rTKr。rr132310,,01IIIIθrθθrθr第5章多自由度系统的振动5.4半正定系统（3）：举例III在例II中，k1=k2=k，I1=I2=I3=I①变换矩阵r②质量和刚度矩阵变换③特征值问题④约束特征向量第5章多自由度系统的振动5.5系统对初始条件的响应·振型叠加法（1）：理论对于形如下式的常微分方程组以正则模态矩阵u作为坐标变换矩阵，即令q=u左乘uT以后，方程组解耦ttMqKq0MuηKuη0201,2,...,rrrttrn0011cossinnnrrrrrrrrrrtttttquηuu第5章多自由度系统的振动5.5系统对初始条件的响应·振型叠加法（2）：举例①运动方程②特征值问题③主振型正则化④正则模态矩阵⑤正则坐标对应的初值条件⑥系统响应的振型叠加形式第5章多自由度系统的振动5.6影响系数（1）：柔度和刚度矩阵柔度矩阵：由柔度系数组成的矩阵，A=[aij]u=AF刚度矩阵：由刚度系数组成的矩阵，K=[kij]F=KuA=K−1，K=A−1第5章多自由度系统的振动5.6影响系数（2）：举例I第5章多自由度系统的振动5.6影响系数（3）：举例I续第5章多自由度系统的振动5.6影响系数（4）：举例II第5章多自由度系统的振动5.7矩阵迭代法（1）：基本算法D=K−1M=AM——动力矩阵，Du(r)=u(r)/r222MKu0DIu00102111,rnnnrrrrrrrrrCCCuwuwDwDu211112221211pnnrrrpprpprrrrCCCwDwuuu,121,limippipww第5章多自由度系统的振动5.7矩阵迭代法（2）：算法推广11100222121rrnnrrrrrrCCCuuwDwDwuT11111122111CDwuDuuMwT2211122211,rnrrrCuDwDDuuMT1112112,3,...,ssssssnDDuuM第5章多自由度系统的振动5.7矩阵迭代法（3）：举例1001111121010,122,124002122.5125mmkkMADAM第5章多自由度系统的振动5.8瑞利商（1）：定义当系统以固有振型u(r)振动时对于任意的振型w=uC，定义瑞利商TT2maxmax11,22rrrrrTUuMuuKuT2TrrrrruKuuMuTTTTTTRwKwCuKuCwMwCuMuC第5章多自由度系统的振动5.8瑞利商（2）：瑞利商的性质当u是标准正则化的模态矩阵假设试算向量w与特征向量u(r)非常接近，则εi=Ci/Cr1(i=1,2,…,n;i≠r)瑞利商在其对应的基本振型附近有极小值。2211nniiiiiRCC21nririiR第5章多自由度系统的振动5.8瑞利商（3）：举例100210010,132002022IkMK第5章多自由度系统的振动5.9无阻尼系统对任意激励的响应·振型叠加法（1）：方程的解耦振型的叠加tttMqKqF,tttttquηMuηKuηFTTTtttuMuηuKuηuF221,2,...,rrrrtttorttNtrnηωηN1nrrrtttquηu0001cossinsindtrrrrrrrrrtttNt第5章多自由度系统的振动5.9无阻尼系统对任意激励的响应·振型叠加法（1）：举例Iu(t)为单位阶跃函数。零初始条件举例IIF(t)=[0F0sint]T11022010210212qqmkFutqq第5章多自由度系统的振动5.10多自由度系统的阻尼（1）：比例阻尼C=[cij]nn——阻尼矩阵，一般为正定或半正定矩阵。比例阻尼C=aM+bKuTCu=diag[a+b12,a+b22,…,a+bn2]令a+br2=2rr定义振型比例阻尼ttttMqCqKqF22rrrab第5章多自由度系统的振动5.10多自由度系统的阻尼（2）：正则坐标方程1122T222nnuCu211122222222nnntηηηN221,2,...,rrrrrrrtttNtrn第5章多自由度系统的振动5.11有阻尼系统对任意激励的响应·振型叠加法（1）：简谐激励振型叠加原理F(t)=F0sint或F(t)=F0eit，Nr(t)=[u(r)]TF0eit1nrrrttquTi0002e,rtrrrrrrNtHNuF2221,12rrrrrrH22arctan1rrrr第5章多自由度系统的振动5.11有阻尼系统对任意激励的响应·振型叠加法（2）：周期激励01cossin2rjjjaNtajtbjt0211cossin2rrjjrjjrjjratHjajtbjt22222221,arctan112rrrjrjrrrrjHjjjj第5章多自由度系统的振动5.11有阻尼系统对任意激励的响应·振型叠加法（3）：任意激励000dddecossinrrtrrrrrrrrrttt