高等 数学 解微分方程详细讲解

机动目录上页下页返回结束常微分方程课件主讲：罗兆富统计与数学学院机动目录上页下页返回结束常微分方程课程简介常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗机动目录上页下页返回结束传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究.因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。机动目录上页下页返回结束教材及参考资料教材：常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社。参考书目：1.常微分方程，(第二版），王高雄等编（中山大学),高教出版社。2.常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。3.常微分方程教程，丁同仁（北京大学),，高教出版社。4.常微分方程及其应用，周义仓等编，科学出版社。5.常微分方程稳定性理论，许松庆编上海科技出版社。6.常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。机动目录上页下页返回结束第一章初等积方法第五章定性与稳定性理论简介第三章一阶线性微分方程组第二章基本定理第四章n阶线性微分方程第六章一阶偏微分方程初步目录机动目录上页下页返回结束300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.第7章初等积分法7.1微分方程和解第一讲机动目录上页下页返回结束一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.机动目录上页下页返回结束一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.机动目录上页下页返回结束例1物体下落问题设质量为m的物体，在时间t=0时,在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.dxvxdt解:如图建立坐标系，设x=x(t)为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为机动目录上页下页返回结束加速度为22dxaxdt质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律F=ma(力=质量×加速度)可以列出方程mxkxmg(1.1)机动目录上页下页返回结束其中k＞0为阻尼系数，g是重力加速度.(1.1)式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程(1.1)可化为mxkxmg(1.1)22dxgdt(1.2)将上式对t积分两次得2121()2xtgtctc(1.3)机动目录上页下页返回结束一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关系式.如果其中的未知函数只是一个自变量的函数，则称为常微分方程；如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.机动目录上页下页返回结束(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)例如下面的方程都是常微分方程2dyxdx2211ydydxx0xx22()dxxdt20yyy机动目录上页下页返回结束(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微分形式的一阶方程.在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方程的一般形式可表为(1.8)(,,)0Fxyy如果在(1.8)中能将解出，则得到方程y(1.9)(,)yfxy(1.10)或(,)(,)0MxydxNxydy机动目录上页下页返回结束n阶隐式方程的一般形式为()(,,,,)0nFxyyy（1.11）n阶显式方程的一般形式为()(1)(,,,,)nnyfxyyy（1.12）在方程(1.11)中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：()(1)11()()()()nnnnyPxyPxyPxyfx（1.13）机动目录上页下页返回结束显然，方程(1.4)是一阶线性方程；方程(1.5)是一阶非线性方程；方程(1.6)是二阶线性方程；方程(1.7)是二阶非线性方程.(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)2dyxdx2211ydydxx0xx22()dxxdt20yyy机动目录上页下页返回结束通解与特解微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.定义1.1设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把代入方程(1.11)，得到在区间I上关于x的恒等式，则称为方程(1.11)在区间I上的一个解.()yx()yx()yx()(,,,,)0nFxyyy（1.11）这样，从定义1.1可以直接验证：1.函数y=x2+C是方程(1.4)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.(1.4)2dyxdx2.函数y=sin(arcsinx+C)是方程(1.5)在区间（-1,+1）上的解，其中C是任意常数.又方程(1.5)有两个明显的常数解y=±1,这两个解不包含在上述解中.(1.5)2211ydydxx机动目录上页下页返回结束3.函数x=C1cost+C2sint是方程(1.6)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C1,C2是独立的任意常数.(1.6)0xx22()dxxdt4.函数y2=C1x+C2是方程(1.7)在区间(-∞，+∞)上的解，其中C1,C2和是独立的任意常数.(1.7)20yyy这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有12sincosxCtCt12cossinxCtCt所以在（－∞，＋∞）上有0xx从而该函数是方程(1.6)的解.Q.E.D.机动目录上页下页返回结束从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n阶常微分方程(1.11)的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，称为该方程的通解，如果方程(1.11)的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.()(,,,,)0nFxyyy（1.11）机动目录上页下页返回结束由上面的定义，不难看出，函数y=x2+C、y=sin(arcsinx+C)和x=C1cost+C2sint分别是方程(1.4)，(1.5)和(1.6)的通解，函数y2=C1x+C2是方程(1.7)的通积分，而函数y=±1是方程(1.7)的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.(1.4)(1.5)(1.6)(1.7)2dyxdx2211ydydxx0xx20yyy机动目录上页下页返回结束例1中的函数(1.3)显然是方程(1.2)的通解，由于C1和C2是两个任意常数，这表明方程(1.2)有无数个解，解的图像见下面的图a和图b所示.初值问题22dxgdt(1.2)2121()2xtgtctc(1.3)机动目录上页下页返回结束而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是因为方程(1.2)所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动的初始状态.推得因此，通过积分求得的其通解(1.3)所描述的是任何一个自由落体的运动规律.显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个初始值条件，即2121()2xtgtctc10cv2cH于是，得到满足上述初值条件的特解为初始位置x(0)=H，初始速度代入到通解中，0(0)xv2101()2xtHgtcv(1.14)机动目录上页下页返回结束它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.于是我们称(1.14)是初值问题220(0)(0)dxdtgxHxv的解。机动目录上页下页返回结束其中x0是自变量的某个取定值，而是相应的未知函数及导数的给定值.方程(1.12)的初值问题常记为对于一个n阶方程，初值条件的一般提法是(1.15)(1)(1)000000(),(),,()nnyxyyxyyxy(1)000,,,nyyy(1.16)()(1)(1)(1)000000(,,,,)(),(),,()nnnnyfxyyyyxyyxyyxy初值问题也常称为柯西（Cauchy）问题.机动目录上页下页返回结束对于一阶方程，若已求出通，只要把初值条件代入通解中，得到方程(,)yxC00()yxy00(,)yxC从中解出C，设为C0，代入通解，即得满足初值条件的解0(,)yxC对于n阶方程，若已求出通解后，代入初值条件(1.15)，得到n个方程式12(,,,,)nyxCCC00120012(1)(1)0012(,,,,)(,,,,)(,,,,)nnnnnyxCCCyxCCCyxCCC(1.17)机动目录上页下页返回结束1212sincos144cossin144CCCC如果能从(1.17)式中确定出，代回通解，即得所求初值问题的解00012,,,nCCC00012(,,,,)nyxCCC例2求方程的满足初值条件0xx()1,()144xx的解.解:方程通解为,求导数后得12sincosxCtCt将初值条件代入，得到方程组12cossinxCtCt1202CC特解2cosxt机动目录上页下页返回结束积分曲线为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程(1.9)的一个特解的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程(1.9)的积分曲线，而通解的图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程(1.4)的通解y=x2+C是xoy平面上的一族抛物曲线.而y=x2是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第3章详细讨论.(1.4)2dyxdx(1.9)(,)yfxy机动目录上页下页返回结束初等积分法通过积分求解常微分方程的一种方法，其特点是方程的解可用初等函数以及初等函数的积分形式表示。机动目录上页下页返回结束1.代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.(),yxIn设在区间上有阶导数()(,(),(),,())0.nFxxxx2.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程