多元函数分析性质之间的关系

多元函数分析性质之间的关系本文主要介绍了二元函数连续性，偏导性存在及可微性的基础知识，对它们分别进行了总结证明和进一步的讨论，总结出这三个概念之间的关系，并举出例子加以论证支撑。由浅入深，从简单开始，逐步深入，做深入探究多元函数连续性，偏导数及可微性之间的关系。一、二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义（一）二元函数的连续性定义1设f为定义在点集DR2上的二元函数，0PD(它或者是D的聚点，或者是D的孤立点）。对于任给的正数，总存在相应的正数，只要PU（0P;)D,就有)()(0PfPf,则称f在D上任何点都关于集合D连续，在不误解的情况下，也称f在点0P连续。若f在D上任何点都关于集合D连续，则称f在点0P连续。由上述定义知道：若0P是D的孤立点，则0P必定是f关于D的连续点；若0P是D聚点，则f关于D在0P连续等价于)()(lim00PfPfDPPP（二）二元函数的可微性定义2设函数),(yxfz在点),(000yxp的某领域)(0pU内有定义，对于)(0pU中的点),,(00yyxxyxp（），若函数f在点0p处的全增量z表示为)(x),(),(00oyBAyxfyyxxfz,其中A,B是仅与点0P有关的常数，22yx，)(o是较高阶的无穷小量，则称函数f在点0P处可微，并称上式中关于x，y的线性函数yBxA为函数f在点0P的全微分，记作yBAyxdfzpx),(|d000由上可知dz是z的线性主部，特别当||x，|y|充分小时，全微分dz可作为全增量z的近似值，即)((),(),(0000yyBxxAyxfyxf）有时也把)(x),(),(00oyBAyxfyyxxfz写成如下形式yxBxAzx，这里0limlim)0,0(),()0,0(),(yxyx（三）二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若),()()(00xoxAxfxxf其中)(0'xfA。同样，若二元函数f在点),00yx（可微，则f在),00yx（处的全增量可由)(),(),(0000oyBxAyxfyyxxfz表示。现在讨论其中A、B的值与函数f的关系。为此，在式子yxyBxAz中令)0(0xy，这时得到z关于x的偏增量zx，且有xxAzx或者Axzx现让0x，由上式得A的一个极限表达式xyxfyxxfxzAxxx),(),(limlim000000容易看出，上式右边的极限正是关于x的一元函数),(0yxf在0xx处的导数。类似地，令)0(0yx，由yxyBxAz又得到yyxfyyxfyzByyx),(),(limlim000000，它是关于y的一元函数),(0yxf在0yy处的导数。综上所述，可知函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数，实际上是把x固定在0x，让y有增量y，如果极限存在，那么次极限称为函数),(yxfz在),(00yx点处对y的偏导数，记作),(00yxfy。因此，二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，可定义如下：定义3设函数Dyxyxfz),(),,(.若Dyx),(00,且),(0yxf在0x的某一领域内有定义，则当极限xyxfyxxfxyxfxxx),(),(lim),(lim00000000存在时，称这个极限为函数f在点),(00yx关于x的偏导数，记作）00,(yxfx或),(00yxxf注意1这里符号x，y专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号dxd相仿，但没有差别。注意2在上述定义中，f在点),00yx（存在关于)(yx或的偏导数，f至少在0,0),xxyyyx（),),(00yyxxyx（或上必须有定义。若函数),(yxfz在区域D上每一点),yx（都存在对x（或对y）的偏导数，则得到函数),(yxfz在区域D上对x（或对y）的偏导函数（也简称偏导数），记作),(yxfx或xyxf),(yyxfyxfy),(),(或也可简单的写作xzzf,或yfzfxfyy或,二、二元函数三个概念的结论及证明（一）二元函数连续性的结论总结及证明一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数),(yxf来说，即使它在某点),(000yxP即存在关于x的偏导数),(00yxfx，又存在关于y的偏导数),(00yxfy，),(yxf也未必在点),(000yxP连续，如下定理有：定理1设函数),(yxfz在点),000yxP（的某邻域）0(PU内有定义，若),(0yxf作为y的一元函数在点0yy连续，),(yxfx在)(0PU内有界，则),(yxf在点),(0yxP连续。证明：任取)(),(000PUyyxx,则),(),(0000yxfyyxxf),(),(),(),(00000000yxfyyxfyyxfyyxxf（1）由于),(yxfx在)(0PU存在，故对于取定的yy0，),(0yyxf作为x的一元函数在以0x和xx0为端点的闭区间上可导。从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理，存在）（1,0，使xyyxxfyyxfyyxxfx),(),(),(000000将它代入（1）式，得),(),(0000yxfyyxxf),(),(),(00000yxfyyxfxyyxxfx（2）由于)(),(000PUyyxx,故),(00yyxxfx有界，因而当)0,0(),(0yx时有0).,(00xyyxxf又据定理的条件知，),(0yxf在0yy连续，故当)0,0(),(yx时，又有.0),(),(0000yxfyxxf所以，由（2）知，有.0),(),(lim000000yxfyyxxfxy这说明),(yxf在点),(000yxP连续。推论1设函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域)(0pU内有定义，若),(0yxf作为y的一元函数在点0yy连续，),(yxfx在点),(000yxP连续，则),(yxf在点),(000yxP连续。证明由于),(yxfx在点),(000yxP连续，故),(yxfx必在点),(000yxP的某邻域内有界，因而据定理1，),(yxf在点),(000yxP连续。推论2设函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域)(0PU内有定义，若),(yxfx在)(0PU有界，),(00yxfy存在，则),(yxf在点),(000yxP连续。证明：由于),(00yxfy存在，故),(0yxf作为y的一元函数在点0yy连续，从而据定理1可得，),(yxf在点),(000yxP连续。同理可证如下的定理2及其推论。定理2设函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域)(0PU有定义，),(yxfy在)(0pU内有界，),(0yxf作为x的一元函数在点0xx连续，则),(yxf在点),(000yxP连续。推论1设函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域内）0(PU有定义，),(yxfy在点)(0PU内有界，),(yxfx存在，则),(yxf在点),(000yxP连续。推论2设函数),(yxfz在点),(000yxP的某邻域)(0PU有定义，),(yxfy在点),(000yxP连续，),(00yxfx存在，则),(yxf在点),(000yxP连续。（二）二元函数可微性的结论总结及证明众所周知，一元函数中，可微性与可导是一回事，但在二元函数中情况就不同了。定理3函数),(yxf在点),(00yxP科委的充分必要条件是),(yxf在点),(00yxP的两个偏导数都存在，且对0，0，当.),(),(),(),(000000yyxxyxfyxfyxfyxf证明必要性已知),(yxf在点),(00yxP可微，故),(00yxfx与),(00yxfy存在，且)())(,())(,(),(),(00000000oyyyxfxxyxfyxfyxfzyx其中.)()00yyxx（即),(),(),(),(0000yxfyxfyxfyxf)()0,0(),0()0)(0,0()0,0()0,0(),0()0)(0,0(oyxfyxfyyyxyfyxyfyxfyxfxxyxxf于是，当),(),(00yxyx时，有000000),(),(),(),(yyxxyxfyxfyxfyxf0000000),(),(),(xxxxyxfyxfyxfx)(),(),(),(0000000oyyyyyxfyxfyxfy000000),(),(),(xxyxfyxfyxfx)0(0)(),(),(),(000000oyyyxfyxfyxfy从而当0（即),(),(00yxyx）时，0),(),(),(),(000000yyxxyxfyxfyxfyxf即0,0，当0xx与0yy且),(),(00yxyx时，有000000),(),(),(),(yyxxyxfyxfyxfyxf所以，0.0，当0xx与0yy且),(),(00yxyx时，有)(),(),(),(),(000000yyxxyxfyxfyxfyxf。充分性已知函数),(yxf在点),(000yxP两个偏导数存在，0，0，当0xx与0yy且),(),(00yxyx时，有)(),(),(),(),(0000000yyxxyxfyxfyxfyxf令)()x00yyx（，则当0时，有0),(),(),(),(0000yxfyxfyxfyxf于是当),(),(00yxyx时，有)(),()(,(000000yyfyxfxxyxfzyyx）)(),(),(),(),(),(),(000000000xxxxyxfyxfyxfyxfyxfyxf）0000000(),(),(),(yyyxfyyyxfyxfy从而有)(),())(,(000000yyfyxfxxyxfzyyx),(),(),(-,(0000yxfyxfyxfyxf）0000000(),(),(),(xxyxfxxyxfyxfx)0(0)(),(),(),(0000000yyyxfxxyxfyxfx所以，函数),(yxf在点),(00yxP可微，证毕。定理4若函数),(yxfz在点),(00yx点处，),(yxfx连续),(00yxfy存在（或),(00yxfx存在，),(yxfy连续），则函数),(yxfz在点),(00yx处可微。由此定理的条件扔有对一个偏导数（二元）连续性的要求。因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性。例如：对于函数0,00,1sin),(2222222yxyxyxxyxf，)0(1cos)(21sin2),(2222222322yxyxyxxyxxyxfx有)0(1cos)(2),(22222222yxyxyxy