多元函数的极值与条件极值

166§10.5多元函数的极值与条件极值在一元函数中，导数的一个重要应用是计算函数的极大值和极小值．在这一节，我们要学习如何用偏导数来研究多元函数的昀大值和昀小值问题，以及与之相关的极值与条件极值问题．10.5.1多元函数的极值我们先研究多元函数的极值．为了与一元函数极值相一致，我们采用向量的记号来给多元函数极值下定义．定义10.5.1设n元函数()fx在0x的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于0x的点x，都有0()()ffxx，则称函数()fx在点0x处取得极大值0()fx，称点0x为()fx的极大值点；如果对于该邻域内任何异于0x的点x，都有0()()ffxx，则称函数()fx在0x处取得极小值0()fx，称点0x为()fx的极小值点．特别地，当1n=时，定义10.5.1与一元函数极值定义完全一致．当2n=时，二元函数(,)zfxy=在点00(,)xy处取极大值（极小值）是指对于在该点的某邻域内任何异于该点的点(,)xy，都有()0000(,)(,)(,)(,)fxyfxyfxyfxy．从几何上看，二元函数的极大值点是其图形的局部峰点，极小值点是其图形的局部谷点．例1（1）二元函数22(,)fxyxy=+在点(0,0)处取极小值．因为当(,)(0,0)xy≠时，(,)(0,0)0fxyf=．从几何上看，点(0,0,0)是开口朝上的旋转抛物面22zxy=+的顶点，如图10.5.1()a所示．（2）二元函数22(,)1fxyxy=−−在点(0,0)处取极大值．因为在区域221xy+≤内，当(,)(0,0)xy≠时，(,)(0,0)1fxyf=．从几何上看，点(0,0,1)是上半球面221zxy=−−的顶点，如图10.5.1()b所示．（3）二元函数22(,)fxyxy=+在点(0,0)处取极小值．因为当(,)(0,0)xy≠时，(,)(0,0)0fxyf=，从几何上看，点(0,0,0)为上半圆锥面22zxy=+的顶点，如图16710.5.1()c所示．（4）二元函数22(,)fxyxy=−在点(0,0)处不取极值．因为(0,0)0f=，但在点(0,0)附近，总可以取到异于该点的点如(,0)x，其对应的函数值2(,0)(0,0)fxxf=，也总可以取到异于该点的点如(0,)y，其对应的函数值2(0,)(0,0)fyyf=−．从几何上看，在原点附近，函数22zxy=−的图形为马鞍面，所以点(0,0)称为鞍点，它不是极值点．如图10.5.1()d所示．图10.5.1还分别给出了这四个函数的等值线图形．读者可以从等值线图中看出函数具有极值点和鞍点的特征．我们知道，对于一元函数()fx，如果它在0x处取极值，那么要么0()0fx′=（或者说曲线()yfx=在0x处有水平切线），要么()fx在0x处不可微．多元函数极值也具有类似的特性．从图10.5.1看出，对于可微函数22zxy=+及221zxy=−−，它们都在原点处取极值，并且在极值点处它们图形有水平的切平面，即切平面方程(0,0)(0,0)(0)(0,0)(0)xyzffxfy′′−=−+−变成(0,0)zf=，这样就有(0,0)0,(0,0)0xyff′′==．但是函数22zxy=+在原点处也取极值，但该函数在原点处不可微．函数22zxy=−在原点处满足(0,0)0,(0,0)0xyff′′==，(b)半球面的图形及其等值线图-1-0.500.51-1-0.500.51(a)旋转抛物面的图形及其等值线图-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51-1-0.500.51(c)上半圆锥面的图形及其等值线图(d)函数22zxy=−的图形及其等值线图-1-0.500.51-1-0.500.51图10.5.1例1中四个函数的图形及其等值线图168但(0,0)不是它的极值点．下面我们一般地给出n元函数取极值的必要条件与充分条件，读者可重点掌握二元函数的情况．定理10.5.1（必要条件）设n元函数()fx在点0x处对各个自变量的一阶偏导数都存在，且在点0x处取极值，则有0()f∇=x0．（10.5.1）证不妨以二元函数(,)zfxy=在点00(,)xy处取极大值为例．对于在点00(,)xy的某邻域内任何异于该点的点(,)xy，都有00(,)(,)fxyfxy．特别地，在该邻域内，令00,yyxx=≠，则有000(,)(,)fxyfxy．这说明0()(,)gxfxy=在点0x处取极大值，从而0()0gx′=，即00(,)0xfxy′=．同理可证00(,)0yfxy′=．所以，有00(,)0fxy∇=．图10.5.2给出了这一证明过程的直观图示．称满足条件（10.5.1）的点0x为函数()fx的驻点或稳定点，所以，具有一阶导数的n元函数，其极值点必定是驻点．假设函数()fx在0x处可微，0x为()fx的驻点，如果在0x的任何邻域内既存在函数值oxy00(,)xy0y0x切线1T图10.5.2若点00(,)xy为(,)zfxy=的极大值点，则点0x为0(,)fxy的极大值点，点0y为0(,)fxy的极大值点；在点000(,,)xyz处，曲面的切平面是水平的．曲面S曲线2C曲线1C切线2TzP169大于0()fx的点也存在函数值小于0()fx的点，则称0x为函数()fx的鞍点．对于二元函数(,)zfxy=，驻点条件（10.5.1）也可写作0000(,)0,(,)0.xyfxyfxy′=⎧⎪⎨′=⎪⎩如果二元函数(,)zfxy=在极值点00(,)xy处可微，那么它的切平面方程0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy′′−=−+−成为平行于xoy坐标面的平面00zz−=．如图10.5.2所示．对于三元函数(,,)ufxyz=，驻点条件（10.5.1）也可写作000000000(,,)0,(,,)0,(,,)0.xyzfxyzfxyzfxyz′⎧=⎪′=⎨⎪′=⎩定理10.5.2（充分条件）设n元函数()fx在点0x处具有二阶连续偏导数，且0()0f∇=x，记0()Hx为()fx在点0x处的海赛矩阵．(1)如果0()Hx正定，则0x为()fx的极小值点；(2)如果0()Hx负定，则0x为()fx的极大值点；(3)如果0()Hx不定，则0x为()fx的鞍点．证由定理10.4.3知，函数()fx在点0x处的一阶带拉格朗日余项的泰勒公式为200000001()()()()()(())()2TTffffθ=+∇−+−∇+−−xxxxxxxxxxxx．记200001()()(())()2TQfθ=−∇+−−xxxxxxxx，它是一个关于x的二次型．(1)如果200()()f=∇Hxx正定，则由极限的保号性知，200(())fθ∇+−xxx正定，从而，在0x的某邻域内，对于任何异于0x的点x，()Qx为正定二次型，即对于非零向量0−xx，总有()0Qx，于是都有000()()()()Tfff+∇−xxxxx（10.5.2）注意到0()0f∇=x，所以0()()ffxx，即0x为()fx的极小值点．(2)如果200()()f=∇Hxx负定，则由极限的保号性知，200(())fθ∇+−xxx负定，从而，在0x的某邻域内，对于任何异于0x的点x，()Qx为负定二次型，即对于非零向量0−xx，总有()0Qx，于是都有170000()()()()Tfff+∇−xxxxx（10.5.3）注意到0()0f∇=x，所以0()()ffxx，即0x为()fx的极大值点．(3)如果200()()f=∇Hxx不定，则在0x的任何邻域内，可以找到异于0x的两点1x和2x，使二次型1()Qx正定，2()Qx负定，这样就有10()()ffxx以及20()()ffxx，所以0x为()fx的鞍点．从定理10.5.2及其证明过程可以看出多元函数与一元函数的二阶导数有类似的一些有趣性质．例如，一元函数()fx在驻点0x处，如果0()0fx′′，则0x为极小值点；如果0()0fx′′，则0x为极大值点．多元函数()fx在驻点0x处，如果0()Hx正定，则0x为极小值点；如果0()Hx负定，则0x为极大值点．这也说明多元函数海赛矩阵的地位相当于一元函数的二阶导数．另外，一元函数()fx在0x的附近，如果()0fx′′，则它的图形是向上凹的，曲线位于0x处的切线的上方；如果()0fx′′，则它的图形是向上凸的，曲线位于0x处切线的下方．对于多元函数()fx，如果它在0x附近，()Hx正定，那么由（10.5.2）式知，曲面位于点0x处的切平面的上方，曲面的图形具有向上凹的特点（这时，称()fx为凸函数）；如果在0x附近，()Hx负定，那么由（10.5.3）式知，曲面位于点0x处的切平面的下方，曲面的图形具有向上凸的特点（这时，称()fx为凹函数）．如图10.5.3所示．特别，对于二元函数(,)zfxy=，记000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy′′′′′′===，则函数在00(,)xy处的海赛矩阵为图10.5.3海赛矩阵的符号决定了曲面的弯曲方向xyz（a）曲面位于切平面上方曲面S切平面Pooxyz（b）曲面位于切平面下方曲面S切平面P17100(,)ABxyBC⎛⎞=⎜⎟⎝⎠H．利用线性代数关于矩阵正定的充分条件我们写出如下关于二元函数极值判定的充分条件．定理10.5.3设二元函数(,)zfxy=在00(,)xy处具有二阶连续的偏导数，且0000(,)0,(,)0xyfxyfxy′′==．(1)如果0A，且20ACB−，则(,)fxy在00(,)xy处取极小值；(2)如果0A，且20ACB−，则(,)fxy在00(,)xy处取极大值；(3)如果20ACB−，则(,)fxy在00(,)xy处不取极值．利用该定理，我们可以判定例1中（1）、（2）、（4）对应的可微函数是否在驻点处取极值．留给读者自己完成．例2求函数3322(,)339fxyxyxyx=−++−的极值．解由方程组22(,)3690,(,)360.xyfxyxxfxyyy′⎧=+−=⎪⎨′=−+=⎪⎩求得函数(,)fxy的稳定点为(1,0),(1,2),(3,0),(3,2)−−，且(,)66,(,)0,(,)66.xxxyyyfxyxfxyfxyy′′′′′′=+==−在点(1,0)处，112006⎛⎞=⎜⎟⎝⎠H，因120A=2720ACB−=，则1H正定，故(,)fxy在(1,0)处取极小值(1,0)5.f=−在点(1,2)处，212006⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠H，因2720ACB−=−，则2H不定，故(,)fxy在(1,2)处不取极值．在点(3,2)−处，312006−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠H，因120A=−，且2720ACB−=，则3H负定，故(,)fxy在(3,2)−处取极大值(3,2)31.f−=在点(3,0)−处，412006−⎛⎞=⎜⎟⎝⎠H，因2720ACB−=−，则4H不定，故(,)fxy在(3,0)−处不取极值．图10.5.4给出了这个函数的图形及其等值线图．172-4-2024-202050100-4-2024-4-2024-3-2-10123例3求44(,)41fxyxyxy=+−+的极大值、极小值和鞍点．解驻点条件为方程组33440,440xyfxyfyx′′=−==−=．将第一个方程得到的3yx=代入第二个方程，有9844224(1)(1)(1)(1)(1)(1)0xxxxxxxxxxx−=−=−+=−++=，解得3个实根0,1,1x=−，驻点为(0,0),(1,1)和(1,1)−−．又2212,4,12xxxyyyfxffy′′′′′′==−=，则22124(,)412xxyy⎛⎞−=⎜⎟−⎝⎠H．在点(0,0)处，104(0,0)40−⎛⎞==⎜⎟−⎝⎠HH，因为1||0H，则原点是一个鞍点，即(,)fxy在(0,0)既没有极大值也没有极小值．（1,0）（1,2）（-3,2）（-3,0）图10.5.4函数3322(