数学建模课后习题答案

实验报告姓名：和家慧专业:通信工程学号：20121060248周一下午78节实验一：方程及方程组的求解一实验目的：学会初步使用方程模型，掌握非线性方程的求解方法，方程组的求解方法，MATLAB函数直接求解法等。二问题：路灯照明问题。在一条20m宽的道路两侧，分别安装了一只2kw和一只3kw的路灯，它们离地面的高度分别为5m和6m。在漆黑的夜晚，当两只路灯开启时（1）两只路灯连线的路面上最暗的点和最亮的点在哪里？（2）如果3kw的路灯的高度可以在3m到9m之间变化，如何路面上最暗点的亮度最大？（3）如果两只路灯的高度均可以在3m到9m之间变化，结果又如何？三数学模型解：根据题意，建立如图模型P1=2kwP2=3kwS=20m照度计算公式：2sinrpkI（k为照度系数，可取为1；P为路灯的功率）（1）设Q(x,0)点为两盏路灯连线上的任意一点，则两盏路灯在Q点的照度分别为21111sinRpkI22222sinRpkI22121xhR111sinRhXSP1P2R1α1α2QyxOR2h1h222222)(xshR222sinRhQ点的照度：3232322222322111))20(36(18)25(10))((()(()(xxxshhPxhhPxI要求最暗点和最亮点，即为求函数I(x)的最大值和最小值，所以应先求出函数的极值点5252522222522111'))20(36()20(54)25(30))(()(3)(3)(xxxxxshxshPxhxhPxI算法与编程利用MATLAB求得0)('xI时x的值代码：s=solve('(-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2))');s1=vpa(s,8);s1计算结果运行结果：s1=19.976695819.3382991368.538304309-11.61579012*i.2848997038e-18.538304309+11.61579012*i因为x=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：x00.0284899709.338299119.97669520I(x)0.081977160.081981040.018243930.084476550.08447468综上，x=9.33m时，为最暗点；x=19.97m时，为最亮点。（2）路灯2的高度可以变化时，Q点的照度为关于x和h2的二元函数：32222323222223221112))20((3)25(10))(()(),(xhhxxshhPxhhPhxI与（1）同理，求出函数I(x,h2）的极值即为最暗点和最亮点0))((3))((5222222322222xshhPxshPhI算法与编程利用matlab求得x：solve('3/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))-3*(3*h^2)/((h^2+(20-x)^2)^(5/2))=0')ans=20+2^(1/2)*h20-2^(1/2)*h即x1=20+2^(1/2)*h（舍去）x2=20-2^(1/2)*h0))20(()20(9)25()220(30-))(()(3)(35222252522222522111xhxhxhxshxshPxhxhPxI利用matlab求解h2solve('-30*(20-2^(1/2)*h)/((25+(20-2^(1/2)*h)^2)^(5/2))+9*h*(20-(20-2^(1/2)*h))/((h^2+(20-(20-2^(1/2)*h))^2)^(5/2))=0')ans=7.422392889676861255710450993296514.120774098526835657369742179215因为h在3~9之间，所以h2=7.42239m再利用matlab求解x和亮度I算法：h=7.42239;x=20-2^(1/2)*hI=10/((25+x^2)^(3/2))+(3*h)/((h^2+(20-x)^2)^(3/2))计算结果结果：x=9.5032I=0.0186综上，x=9.5032，h2=7.42239时，最暗点的亮度最大，为0.0186w。(3)两盏路灯的高度均可以变化时，I为关于x,h1,h2的三元函数，用同样的方法求解32222232211121))(()(),,(xshhPxhhPhhxI0)(3)(5221211322111xhhPxhPhI0))20((9))20((3))((3))((52222232225222222322222xhhxhxshhPxshPhI0))20(()20(9)(6))(()(3)(35222252211522222522111xhxhxhxhxshxshPxhxhPxIxh211)20(212xh252211252222)(2])20([)20(3xhxhxhxh2522225222)21(22])20()20(21[()20(23xxxxxx=3332)20(1xx算法与编程利用matlab求解x，h1，h2的值：算法：solve('1/((20-x)^3)=2/(3*(x^3))');s1=vpa(s,6);a=(1/sqrt(2))*s1;a1=double(a);b=(1/sqrt(2))*(20-s1);b1=double(b);a1,b1,s1计算结果结果：a1=6.59405.1883+12.0274i5.1883-12.0274ib1=7.54828.9538-12.0274i8.9538+12.0274is1=9.325307.33738+17.0093*i7.33738-17.0093*i综上，h1=6.5940，h2=7.5482，x=9.32530时，最暗点的亮度最大四分析、检验和结论经过数学模型的建立和数学软件MATLAB的使用，我们已经得到较为准确的答案。五心得体会随着计算机技术的发展，大型的线性/非线性方程组我们已可以用计算机简单方便的计算出来了。对我们的生活有很好的提高。实验二：数据插值与拟合实验一、实验目的及意义[1]了解插值、最小二乘拟合的基本原理[2]掌握用MATLAB计算一维插值和两种二维插值的方法；[3]掌握用MATLAB作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法。二、实验内容1．针对实际问题，试建立数学模型。用MATLAB计算一维插值和两种二维插值的方法求解；1．用MATLAB中的函数作一元函数的多项式拟合与曲线拟合，作出误差图；2．用MATLAB中的函数作二元函数的最小二乘拟合，作出误差图；3．针对预测和确定参数的实际问题，建立数学模型，并求解。三问题：数据插值山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表3.8。平面区域为（1200=x=4000,1200=y=3600)试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。表3.8某山区高程表12001600200024002800320036004000120011301250128012301040900500700160013201450142014001300700900850200013901500150014009001100106095024001500120011001350145012001150101028001500120011001550160015501380107032001500155016001550160016001600155036001480150015501510143013001200980数学模型：利用matlab编程代码如下：x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;[xi,yi]=meshgrid(1200:4000,1200:3600);z=[11301250128012301040900500700;13201450142014001300700900850;139015001500140090011001060950;15001200110013501450120011501010;15001200110015501600155013801070;15001550160015501600160016001550;1480150015501510143013001200980];线性插值法zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'linear');mesh(xi,yi,zi)title('线性插值法')xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');C=contourf(xi,yi,zi);clabel(C);title('等高线图')xy算法与编程：最邻近插值法zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'nearest');mesh(xi,yi,zi)title('最邻近插值法')xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');C=contourf(xi,yi,zi);clabel(C);title('等高线图')立方插值法zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'cubic');mesh(xi,yi,zi)title('立方插值法')xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');C=contourf(xi,yi,zi);clabel(C);title('等高线图')三次样条插值法zi=interp2(x,y,z,xi,yi,'spline');mesh(xi,yi,zi)title('三次样条插值法')xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');C=contourf(xi,yi,zi);clabel(C);title('等高线图')计算结果：四种差值方法在运算时间和光滑程度上有一定的差异，如下表所示类别差值方法运算时间光滑程度最邻近插值法快差线性插值法稍长稍好三次样条插值法最长最好立方插值法较长较好三问题：曲线拟合某年美国旧车价格的调查资料如下表所示，其中下xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并计算使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少？xi12345678910yi2615194314941087765538484290226204方法一利用1stOpt快速拟合公式搜索可得到公式为：y=p1+p2*x+p3/x+p4*x^2+p5/x^2+p6*x^3+p7/x^3+p8*x^4+p9/x^4+p10*x^5p1=18382690.6773727p2=-4152096.11663013p3=-51037385.3263795p4=592195.144413008p5=84947107.1889704p6=-51716.5130172659p7=-75932896.2582835p8=2521.12152863706p9=27252247.5649699p10=-52.482670759974Matlab代码如下p1=10802.6249167589;p2=-20010.6348923663;p3=19400.634311511;p4=-10100.4704562703;p5=2958.58084727337;p6=-461.436321152701;p7=21.9610124897453;p8=4.50124440221874;p9=-0.851576261728162;p10=0.0575464303972622;p11=-0.00144545223415816;x=4.5;y=p1+p2*x+p3*x^2+p4*x^3+p5