9-9应变能

§9—9弯曲应变能一、梁在纯弯曲时的应变能lMeMe梁在纯弯曲时，各横截面的弯矩M都等于外力偶矩Me。lMeMeEIMk1EIlMEIlMle曲率：圆心角：在线弹性范围内有MeEIlMle与Me成线性关系外力偶所做的功MWe21MeMWe21纯弯曲时梁的应变能221222eeMlMlUWMEIEIEIlMle二、横力弯曲时梁的应变能横力弯曲时梁的应变能包含两部分：弯曲应变能和剪切应变能。在工程中常用的梁（跨度比高度大得多），剪切应变能比弯曲应变能小的多，因而剪切应变能不计。dxM(x)M(x)+dM(x)取一微梁段因弯矩的增量是一阶无穷小，可略去不计。该梁段可看作纯弯曲。所以这段梁的应变能为2()2MxdUdxEI全梁的应变能为2()2lMxUdxEI式中：M(x)为梁任一横截面上的弯矩表达式。dxM(x)M(x)221222eeMlMlUWMEIEI解：[法1]运用功能原理求应变能43434(2)24qlxxxwEIlll挠曲线方程xdxqABlyqdxw01()2lWqdxwEIlqdxlxlxlxEIlqWl240)2(242U524433042例题：抗弯刚度为EI的简支梁，受均布荷载q作。求：应变能22)(2qxxqlxMEIlqEIdxxMl2402522U[法2]运用弯曲变形能公式qABlyx例题：求图示等截面简支梁内的弯曲应变能，并求跨中C截面的挠度。l/2FABCl解：根据对称关系，梁左段和右段内的弯曲应变能相同（取左段研究）左段(AC段)弯矩方程xFxM2)(l/2FABCl左段(AC段)弯曲应变能xFxM2)(22321022192lFxFlUdxEIEI整个梁的弯曲应变能231296FlUUEIl/2FABClwC所求挠度wC，就是荷载F的作用点C沿荷载作用方向的位移因此在加载过程中荷载所作的功为12CWFw弹性体应变能的大小等于外力的功UW231962CFlFwEI3()48CFlwEI卡式定理1P2P3PnP123n设梁上有n个荷载P1，P2，，Pn（简单加载）与之相应的位移为1，2，，n一、卡式第一定理ABin1i0idPWUi梁内应变能在数值上就等于外力功外力作总功等于每个集中力在加载过程中所作功的总和上式表示梁内应变能U是其上所有荷载相应的最后位移i的函数1P2P3PnP123nAB假设与第i个荷载相应的位移有一微小的增量di梁内应变能的变化为ddiiUUiU为应变能对于位移i的变化率1P2P3PnP123nAB只有与Pi相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移保持不变。只有Pi在微小位移di上作了外力功梁外力功的变化为dPdWii1P2P3PnP123nABdPdWiiddiiUU外力功在数值上等于应变能dWdU得到iiPU即卡氏第一定理1P2P3PnP123nAB一个力一个力偶一对力一对力偶一个线位移一个角位移相对线位移相对角位移iiPUi为Pi的作用点相应于Pi的位移。Pi为广义力，i为与Pi相应的广义位移。1P2P3PnP123n设梁上有n个荷载P1，P2，，Pn（简单加载）与之相应的位移为1，2，，n二、卡氏第二定理ABniPiiCCidPW10U梁内余能为外力的总余功等于每个集中荷载余功之和0iiciciiPUWdP每个集中荷载余能假设第i个荷载有一微小增量dPi，其余荷载及所有荷载的位移均维持常量不变，外力总余功的相应改变量为dPdWiiCdPdWiiC由于Pi改变了dPi，梁内余能的改变量为dPdiCCPUUi外力余功在数值上等于弹性杆的余能dWdCCU则有PUiCi上式为余能定理线弹性杆件或杆系中，应变能与余能在数值上相等CUUiiPU则有PUiCi上式为卡氏第二定理