05第二章稳态热传导4

目的：1)获得肋的温度分布2)通过肋片强化散热量应用背景:1）工业:2-4通过肋片的导热（1）换热器翅片（2）燃气轮机叶片（3)室内暖气片（4)电脑散热片(5)微型换热器人体(手指,耳朵,鼻子)2）生物:狗的舌头为了增强传热或达到其它目的，有些工业设备的换热表面往往采用肋片来加大换热面积，代入付立叶定律就可求得Φ和肋片表面的对流换热系数λ首先要建立肋片的能量方程式，再按规定的边界条件求出特解，得到肋片的温度分布：dt/dx进一步求得h为了确定肋片的温度分布和肋片的散热量，肋片有各式各样形状，为了方便起见，下面只分析等截面直肋的导热过程。1.通过等截面直肋的导热工程上经常采用肋片（又叫翅片）来强化换热。所谓肋片，是指依附于基础表面上的扩展表面。环肋针肋直肋图2-10肋片的典型结构2、肋的几种形式等截面直肋如图所示。由于肋片都是导热性能良好的金属制成，且肋片很薄，因此可以认为肋片的截面温度均匀，温度只沿肋高变化，为一维温度场。图2-11肋片的典型结构dxxxsdxxH0t1lth,1）物理问题:2）简化假定:（1）一维（2）稳态（3）无内热源（4）导热系数（6）等截面肋（7）肋端绝热（5）肋表面换热系数(沿肋高方向横截面积)0constconsthconstAC0|Hxdxdt0txf如图所示dxxxsHdxx00xtt,0Htxxdx0dxdxd图2-11bc等截面直肋稳态导热3、对等截面直肋的分析解经上述简化，所研究的问题变成一维稳态导热问题，如图2-11所示肋片各截面的温度沿高度方向是逐步降低的．其导热微分方程式（2-10）简化为adxtd022材料的导热系数在肋片整个高度上都是常量。等截面直肋的横截面积Ac和截面周边P都是常量,则表面的总散热量为假定btthPdxs等截面直肋的微元体积dxAccAtthPdxAccs由肋片向环境散热，因而取负号。将(c)代入(a)得：dAtthPdxtdc22为了使微分方程齐次化，用过余温度代替t上式为关于温度的二阶非齐次方程．tt得等截面直肋完整的数学描述：amdxd352222bdxdHxttx3520,,,000式中为一常数。cAhPmeececmxmx21式(2-35)是描述等截面直肋稳态导热的二阶线性齐次常微分方程,其通解为其中时c1、c2由两个边界条件式（2-35）确定，即fmecmecccmHmH11021,36210220mHchHxmcheeeemHmxmHmx肋片中的温度布:令x=H,372)(0mhchH可从上式得出肋端温度的计算式．因ch(0)=1故得由肋片散出的热量都必须通过X=0处的肋根截面．将式（2-36）的代入付里叶定律的表达式，既得此热流量为:38200000mHthmhPmHmthAmHchmHshmAdxdAccxcxf实际的肋片换热量整个壁面的温度t0时的换热量mlmlthhPlmlmthff00若肋片长l为,肋端绝热时测温套管的测温误差计算mlchmlchmlchchl0000mlchttttflf0肋效率表征肋片散失热的有效程度，其物理意义为mHmHthhPhmHthmhPt)()(00hbbhAhPm22可计算出肋片的实际散热量。对于等截面直肋其肋效率为4.通过环肋及三角形截面直肋的导热（1）等截面直肋：但此时图2-14矩形及三角形直肋的效率曲线图(2-14)给出矩形肋及三角形直肋的肋效率曲线，供计算使用。其它形状肋片的肋效率可以有关传热学手册中找到。肋效率fmHmHthf2HHHAc%f2123LAhH2HAHHLHAHHL2H2HH2HAHHL（2）变截面肋图2-15矩形剖面环肋的效率曲线HAHHrrL222222%f2123LAhH一根外直径为25mm的管系，其表面温度保持107℃。如果用12根等距分布的纵肋装在管面上，试求传热量增加的百分率和肋效率。已知肋厚为2.5mm，肋高为19mm，肋片的导热系数为111w/(m·℃)，周围空气温度为27℃，对流换热系数为10w/(m2·℃)。稳态工作状况；肋片内为一维径向热传导；常物性；无内热生成；忽略与周围环境的辐射换热；整个外表面的对流换热系数一样。例1解：图1例1用图假设传热条件为：按1米长计算截面积230025.0105.21mlAmlP005.2)105.21(2)(23每根肋片的散热量可按表1－4公式计算管系装肋片后的总散热量为未装肋片后的总散热量为未装肋片时光管的散热量为计算肋效率查图1－6得说明：1．采用肋片明显地提高了散热速率；2．肋片效率小于1。5.肋片导热的单值性条件分类（1）肋片很高，可以认为肋端的温度等于流体温度，因此肋端无放热量。（2）肋片较低，其肋端温度大于，则应计算端部的对流热量。（3）肋端绝热。传热公式(1）肋片很高:当当所以肋壁内的温度布肋壁的对流换热量为.,00x.0,xececcc212100021,0ccmxe0000fhPemfqm(2)肋片较低时的肋壁0,0x当当肋壁内的温度布:肋壁的对流换热量为:lllxhdxdlx,mlshmhmlchxlmshmhxlmchll0mAmlshmhmlchmlchmhmlshmAcllc000,0x当当肋壁内的温度布为肋壁的对流换热量为(3)肋端绝热mlchxlmcheeeemlmxmlmx022011肋根处的温度梯度为mlmthxlmshmmlchdxdxx0000mlthAdxdAx00)(0,lxdxdlx固体接触热阻wARAttt221121Rt:接触热阻热流密度:2121221121rrrttARttqll221mwrttqlwwtq图2-18固体表面间的实际接触情况xadxtd422022fth,1、具有内热源的导热图2-19具有均匀内热源的平壁fth,qqdx具有内热源的导热,例如电线有电流通过时的发热。示例：平壁具有均匀的内热源Φ；巳知两边具有均匀的温度tf和对流换热系数h；由于对称，只要研究板厚的一半即可．对上式作两次积分得：2122cxcxt2-5具有内热源的一维导热问题btthdxdtxdxdtxf422,0,02122cxcxt由得温度分布：432222fthxt任一位置处的热流密度：442xdxdtq由此可见，与无内热源平壁解相比，热流密度不再是常数，温度分布也不是直线而是抛物线，这都是内热源引起的．3)数值解：适于求解复杂形状及边界条件的问题形状因子适用于求解发生在两个等温表面之间的导热热量计算平板二维稳态导热求解方法:1)分析解（仅限于几何形状及边界条件都比较简单的情形）2)形状因子：其中S--形状因子：（取决于导热物体的形状及大小）平板：其他几何条件下的形状因子可按一定公式计算AS21ttS12ln2ddlS2．多维导热问题求解二维稳态导热问题，通常应用的方法有：分析解法求解模式为：导热微分方程＋单值性条件特定的温度场特定的热流场求解求解分析解法、形状因子、数值解法.（1）二维导热问题分析解法示例：简要介绍分析解法及形状因子方法aybxytxt4620,002222ayx48202222bxxyby4821,;00,0,;0,0472121ttttbtxttxttybttyt462,;0,,;,0210,1tb0xy1,2t0,1t0,1t图2－22矩形区域中的二维稳态导热引入无量纲过余温度于是采用分离变量法，即设yxyx,利用付立叶级数可得温度场yx,的分析解492sinhsinhsin112,1bnbynbxnnyxn（2）形状因子法导热形状参数根据导热基本定律，考虑到稳定温度场，各向同性体dndtA分离变量，如果是单一法线方向，可得222121)(1212ttttnnttttdtdtAdn式中：1221ttdtttm是导热系数在t1至t2温度范围的平均值21)(21nnmAdntt222121)(1212ttttnnttttdtdtAdn如果导热系数在不大的温度范围可按直线关系估算温度对导热系数的影响。算术平均值：)21(210ttbm导热系数随温度改变时，可以用λm当作常量计算Φ，却不能用λm当作常量得到准确的温度分布。令211nnAdns式中s称为形状因子S取决于垂直于热流方向导热面积，是一个取决于导热体形状和大小的几何参量，叫做“导热形状因子”导热热阻为St150221ttSm一维稳态导热，t1和t2两等温面之间的距离就是壁厚mASAm代表t1和t2两等温面面积A1和A2和某种平均值二维和三维的稳态导热，导热形状因子应理解为mmLASLm是t1和t2两个等温面之间沿热流线的平均距离；Am为平均有效导热面积。两个等温面间导热热流量总可表示为统一形式：形状因子部分结果列于表2－1，表中第八个例子是一个极端的情形，其中等温面t1已退化为一点．形状因子仅适用于计算发生在两个等温表面之间的导热热流量注意：小型立方炉的长宽高都是0.5m，炉壁用厚δ=0.1m的砖墙砌成，材料λ=1.2w/(m·℃)，若炉墙内表面温度为t1=550℃，外表面温度为t2=50℃。试求通过炉墙的热损失。例解：这是一个稳态三维导热，假设材料常物性的。由题意可知炉子所有内部尺寸均大于壁厚的1/5；所以每条棱的mlS27.05.054.054.01每个角的mS015.01.015.015.02每个面的mAS5.21.05.05.03立方炉共有12条棱，8个角及6个面，总形状系数为mSSSS36.185.26015.0827.0126812321wtS11016)50550(2.136.18λ=1.2w/(m·℃)δ=0.1mt1=550℃t2=50℃0.5m0.5m0.5m