竞赛课件：电路等效电阻计算方法技巧[1]

对称法♠电流叠加法♠Y-△变换法♠对具有一定对称性的电路,通过对等势点的拆、合，对称电路的“折叠”，将电路简化为基本的串并联电路。直流电路中各电源单独存在时的电路电流代数叠加后与所有电源同时存在的电路电流分布是一样的，任一直流电路电流分布，总可归结为只含某一个直流电源的电路电流分布．这就是电流的可叠加性．对于一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流的可叠加性，重新设置电流的分布方式，将原本不对称问题转化成具有对称性的问题加以解决。利用Y型联接电阻与△型联接电阻间等价关系的结论，通过电阻Y型联接与△型联接方式的互换，达到简化电路成单纯串联或并联的目的．解:ABCDEFHGACBDEGFH3343ACRRRRRR则AC间等效电阻:如图所示，12个阻值都是R的电阻，组成一立方体框架，试求AC间的电阻RAC、AB间的电阻RAB与AG间的电阻RAG．专题19-例1续解ABCDEFHGAB间等效电阻:EGFHABCD2RR222.5222.5712ABRRRRRRRRRRRR则续解ABCDEFHGAG间等效电阻:FHCABEDG6R3R3R56AGRR则解:AB02r电源外电路等效电阻:000002.55240.577ABrrRrrr通过电源的电流由6.0A40/71.05AABIR如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻丝构成，电池电动势ε=6.0V，内电阻不计，求通过电池的电流．专题19-例2波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形．他将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图3的图形．经三次分割后，又得到图4的图形．这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫．它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就得到图2的图形．如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空．图1图2图3图4数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分形几何学”的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展．我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r；经一次分割得到如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一．⑴试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻．⑵试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻专题19-例3ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGIJ解答解:读题对三角形ABC,任意两点间的电阻r023RrABC对分割一次后的图形2r1635925Rrr56r对分割二次后的图形512r256r225623Rr可见,分割三次后的图形331252235634rrR2536nnRr递推到分割n次后的图形如图所示的平面电阻丝网络中，每一直线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效电阻．解:ABABBABAr34ABRrABAB三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中A、B两点间的等效电阻RAB．解:三个金属圈共有六个结点，每四分之一弧长的电阻R/4.将三维金属圈“压扁”到AB所在平面并“抻直”弧线成下图4R8RBA882882ABRRRRRRR548R4R正四面体框架形电阻网络如图所示，其中每一小段电阻均为R．试求RAB和RCD．解:34ABRrBAEF2R4R2R2RABHIE乙2R2RDCIGHL甲甲BAFDCIGHLEDC丙2R2R2R2R38CDRr解:解题方向:由于对称，可将AB中垂线上各电势点拆分，原电路变换为图乙，我们看到这是一个具有自相似性的无限网络，其基本单元如图丙BBnAnnAnBRxRRRR2R丙BA甲AABAB乙当n→∞时，多一个单元，只是使Rx按边长同比增大，即222222222xxxxxRRRRRRRRRRRRR713xRR713ABaR试求框架上A、B两点间的电阻RAB．此框架是用同种细金属制作的，单位长度的电阻为ρ．一连串内接等边三角形的数目可认为趋向无穷，如图所示．取AB边长为a，以下每个三角形的边长依次减少一半．解:解题方向:将原无限长立体正三棱柱框架沿左、右递缩为三棱台再“压”在AB所在平面，各电阻连接如图ABC2rr23r3r33rxrxrx由3216xrAB22121ABrR如图所示是由电阻丝连接成的无限电阻网络，已知每一段电阻丝的电阻均为r，试求A、B两点之间的总电阻．ABC返回解:专题19-例4ABABOO2I8IABO24I524I52842422ABIRIRIRII2924ABRR田字形电阻丝网络如图所示，每小段电阻丝的电阻均为R，试求网络中A、B两点间的等效电阻RAB．R2R如图所示的一个无限的平面方格导线网，连接两个结点的导线的电阻为r0，如果将A和B接入电路，求此导线网的等效电阻RAB．解:专题19-例5BA044ABIrIRI02ABRr解:专题19-例6ba006336abIIIIRRIR0abRR有一无限大平面导体网络，它有大小相同的正六边形网眼组成，如图所示，所有六边形每边的电阻均为R0，求间位结点a、b间的等效电阻．如图是一个无限大导体网络，它由无数个大小相同的正三角形网眼构成，小三角形每边的电阻均为r，求把该网络中相邻的A、B两点接入电路中时，AB间的电阻RAB．解:AB66ABIIIRR3ABRR半径为R的薄壁导电球由连在A、B两点上的（AO⊥BO，O点是球心）两根细导线接到直流电源上，如图．通过电源的电流为I0．问在球面上C点处（OC⊥OA，OC⊥OB）电荷朝什么方向运动？若在C点附近球面上作两个小标志，使它们相距R／1000，其连线垂直电荷运动方向．问总电流中有多大部分通过这两标志之连线？解:BAＯBACi1i2C处单位长度上电流02122cIiRC处垂直于电荷运动方向上一段弧是的电流为021221000IRiR024000I如图所示的电阻网络包括两个立方形，每边电阻均为2r，求A、B间的电阻．解:ABBACC15I1115I415IBA815I715IC215I1151072415151515ABRrIIIr2ABRr2rr4r返回ACIAIc甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙RaRbRcbIbACABAABACBCBABABBCCACBCCABCUUIRRUUIRRUUIRR0abaabbacaaccbcbbccabcUIRIRUIRIRUIRIRIIIabcacbaacabbcURURIRRRRRRAaBbCcIIIIIIABabACacBCbcUUUUUUbcabacbacabbcURURIRRRRRRcabcbacacabbcURURIRRRRRRabcacbacabbcURURRRRRRRbcabacacabbcURURRRRRRRcabcbaacabbcURURRRRRRR1cacabbcABRRRRRRRR1bacabbcACRRRRRRRR1aacabbcBCRRRRRRRRY→△变换YYYABBCcaACbRRRRRR△→Y变换ABACABBCACBCabcRRRRRRRRRABBCACRRR解:专题19-例8abBAdcDCAB4rAB间等效电阻:cabO/2r/2r/4r2rr1.5r1.25rOBAC2Y6r24/5r4r4rABR242445245525242445245525r4780r如图所示,一个原来用12根相同的电阻丝构成的立方体框架，每根电阻丝的电阻均为r，现将其中一根拆去，求A、B两点间的电阻．244acbrrrrrRRRr221.264451.2655ACABBCRRrrrrrRr如图所示,甲中三端电容网络为△型网络元，乙中三端电容网络为Ｙ型网络元，试导出其间的等效变换公式．解:ACqAqC甲BqBCABCACCBC乙acqaqcbqbCbCaCcOAaBbCcqqqqqqABabACacBCbcUUUUUUAABABACACBBAABBCBCCCACACBBCqUCUCqUCUCqUCUC0abababacacacabcqqUCCqqUCCqqqY→△变换YYYabbcacABBCCACCCCCCCCC△→Y变换abBCCAABcCCCCCCYabcCCCABACBABCCBCACCCCCC解:RABR/3R/8R/2R/6ABR1511R电阻均为R的九个相同的金属丝组成构架如图所示，求构架上A、B两点间电路的电阻．如图所示，由九根相同的导线组成的一个三棱柱框架，每根导线的电阻为R，导线之间接触良好，求BD之间的电阻值．解:BDRBR/3DR/62R/32R/15312231512BDRR1115R解:AB2RRR/8R/4ABR131118421242R4722R如图所示，由电阻丝构成的网络中，每一段电阻丝的电阻均为R，试求RAB．由7个阻值相同的均为r的电阻组成的网络元如图所示，由这种网络元彼此连接形成的无限网络如图⑵所示，试求P、Q两点之间的等效电阻．解:Rxrr/4r/2534225342xxxxxRrrrRrrRRrrrRr55515xRrrrrrrrr⑴⑵PQ如图所示，一长为L的圆台形均匀导体，两底面半径分别为a和b，电阻率为ρ．试求它的两个底面之间的电阻．解:Lba2iLnRLaikn211limlimnninniiLRRLnaikn111lim1nniLLLnaikaiknn111lim1nniLLkaikaiknn11kab11Labab本题解题方向:由电阻定律出发,用微元法求解!解:l12iiirrRnrlab121nniirRlnr12lim1limnninnirRlnr2Rlbealn2blRa本题解题方向:由电阻定律出发,用微元法求解!一铜圆柱体半径为a、长为l，外面套一个与它共轴且等长的铜筒，筒的内半径为b，在柱与筒之间充满电阻率为ρ的均匀物质，如图，求柱与筒之间的电阻．如图所示的立方体网络中，