竞赛辅导_刚体的平面运动2014

刚体的平面平行运动*(补充)定义：刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面平行，称作刚体的平面（平行）运动。车轮滚动木梯下滑处理方法：可看作随基点的平动和绕过基点轴（⊥固定平面）的转动的合成。AB1AB1A2刚体由1→2可分为（转动）（平动）2111刚体∥固定平面的截面B——基点（任取）对刚体上A点：rrrBdtrddtrddtrdBvvvBxyoBrrrxyABrv的位矢点相对基点——BAr速度矢量—刚体绕过基点轴的角—rvvB——平面运动刚体上任一点的速度车轮（圆柱体）的无滑滚动若滚动车轮边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面无相对滑动，则称车轮作无滑滚动（纯滚动）。车轮（中心）前进的距离与转过的角度的关系：rx则rvC——无滑滚动的条件raC或dtdrdtdxdtdrdtdvCCvxCr2020/1/215纯滚动纯滚动的条件：s=Rφ，质心移动的距离也是s，∴vc=Rω，ac=Rβ。非纯滚动非纯滚动▲对无滑滚动，车轮边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的瞬时速度为0.车轮上任一点的速度：rvvCG点：0GCCGrvvB点：CBvv2A点：CCAvrvv2)(22BCCBrvvACCArvvCvBCrABGxCACrGCrrrr的位矢）—该点相对质心—（Cr例1、求图示纯滚动中G、B、A相对支撑面的速度。例1、半径为R的圆环静止在水平地面上，t=0时刻开始以恒定的角加速度沿直线纯滚动。任意t0时刻，环上最低点的加速度大小为＿＿＿＿，最高点的加速度大小为＿＿＿＿＿。CaCR质心参考系：圆环上任一点Rat2222)(tRtRRan地面参考系：（纯滚动条件）RaC最低点：22221)(tRaaaantc最高点：4222222224)()2()(tRtRRaaaantc二刚体平面运动的动力学刚体的平面运动——可视作随基点的平动和绕基点轴的转动。通常选质心为基点。xyxyCo刚体∥固定平面的截面系，质心运动定理）（外oamFC系，转动定律）（外CJM1、刚体平面运动的基本动力学方程若刚体受力均在oxy面内，则有yyxxCiCimaFmaF惯性系质心系，可以是非惯性系2、作用于刚体上的力（1）作用于刚体上的力是滑移矢量——沿作用线滑移而不改变效果。FFC对刚体，力的三要素：大小、方向、作用线。作用，一般F使质心有加速度使刚体有角加速度（若力过质心，则无此项）（2）力偶和力偶矩力偶——大小相等方向相反的一对力。力偶矩——力偶对某轴的力矩之和。▲力偶对质心运动无影响。FF1dC2d，方向：轴力矩大小：对11FdMCF，方向：轴力矩大小：对22FdMCF力偶矩：FdddFMMM)(2121d——力偶臂（3）刚体受力的等效处理CFFzMF等效为转动轴的力矩）对原附加一力偶（力偶矩平动平移至过质心将CFF三刚体平面运动的动能222121CCkJmvE刚体平面运动的动能等于随质心的平动动能与对质心的转动动能之和。——科尼希定理（证明略）四刚体在平面力系作用下的平衡条件设各力均在oxy面内，则刚体静止平衡（或作匀速直线平动）的充要条件为：0iF轴）（对任意zMzi0其中，0iF通常写成分量形式：0,0yxiiFF例2、一均质圆柱，质量m、半径R，在水平外力F作用下，在粗糙水平面上作纯滚动，力的作用线与中心轴线的垂直距离为l，如图。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。解：不妨设静摩擦力f的方向向左，CmafF由转动定律：CJRflF纯滚动条件：RaC圆柱对质心的转动惯量为FaC221mRJC则由质心运动定理：mR)lR(FaC32FRlRf32讨论：lR/2,f0,方向向左；lR/2,f0,方向向右；l=R/2,f=0.联立以上四式，解得FaCCmafmgsin转动惯量小的滚得快！质心运动定理过质心轴转动定理纯滚动条件（运动学条件）2sinmRJmgRC【例3】两个质量和半径都相同，但转动惯量不同的柱体，在斜面上作无滑动滚动，哪个滚得快？mgfRCCJRfRaCxy2020/1/2115求圆柱体从h高的斜面滚到底部时的速度和角速度。θNmgf解：222222234)(;342121,RghRghRJMEMghEcmcmcmcmcmfivvvv质心系）绕质心的转动质心运动定理（二维）(cccJMamF2020/1/2117习题3.55：圆柱体M=4.0kg,R=0.10m,斜面θ=37°,忽略滑轮的质量,重物m=1.0kg.求(1)重物的加速度a,(2)圆柱体的质心加速度和角加速度,(3)圆柱体和斜面间的摩擦力。解：TfNMg221)(sinMRRfTMaMgfTmaTmgcmcmcmaaRa2N4.11,rad/s0.4,m/s0.8,m/s0.4222faacm2020/1/2118习题3.57：如图，以加速度a0上升的升降机中，滑轮和圆柱体的半径R。求相对升降机的物体加速度和圆柱的质心加速度；绳中的张力。解：22220111201RaaJRTMaTMaMgRaJRTRTmamamgTccT1T1T2T2mgMgMgTma0Ma0例4、有一长为l、质量为m的匀质细杆，置于光滑水平面上，可绕过中点O的光滑固定竖直轴转动，初始时杆静止，有一质量与杆相同的小球沿与杆垂直的速度飞来，与杆端点碰撞，并粘附于杆端点上，如图所示。（1）定量分析系统碰撞后的运动状态；（2）若去掉固定轴，杆中点不固定，再求碰后系统的运动状态。vmvmlO4202lmmlmyCmvmlO解：（1）对（杆+小球）系统，对O轴合外力矩为0，故角动量守恒：]121)2([222mllmlmvlv23碰后系统将以lv23转动。（2）碰后，系统质心位置为mmlCyOCv系统的运动可看作随质心的平动和绕质心轴的转动。mmlCyOCv对（杆+小球）系统，合外力为0，故动量守恒：Cmvmv22vvC同时，对C轴合外力矩为0，故角动量守恒：)(4球杆CCJJlmv（平行轴定理）杆222487)4(121mllmmlJC2)4(lmJC球lv56碰后系统质心将以向右运动，2vvC且系统以lv56绕质心轴转动。例5、“打击中心”问题：匀质细杆长l，质量m，可绕固定光滑水平轴O转动，开始竖直静止。某时刻有水平F作用在A处（距O为l0），求此时轴对杆的作用力。FO0lACxyxNyN由转动定律：2031mlFl203mlFl由质心运动定理：质心加速度：（切向）2laxC（法向）0220layCyxCyCxmamgNmaNFFO0lACxyxNyNmgNFllNyx)123(0力很大。轴的反作用将很大，此时杆对支承通常很大，只要由于冲击力xNllF,320点叫打击中心。此时的当ANllx,0,320（1）在使用工具敲打东西时，要注意用打击中心击打，以免有较大的反作用力。打击中心与刚体的形状及质量分布有关。（2）若图中冲击力来自小球对杆的碰撞，仅当碰撞在打击中心时，Nx=0，（小球+杆）系统水平方向动量才守恒。2020/1/2125例：例：βRamRfRFRmafFcc221mamgTrmrTrTrmrTamTgmc22232222112111111121211122raarac刚体的进动*2020/1/2127不受外力矩的陀螺仪，角动量守恒，转动轴线的方向不变。受到外力矩作用的陀螺会产生回转效应，叫进动。旋进高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴转动的现象。×MdL·mgθOω∥L如图，陀螺的角动量就是它绕自转轴转动的角动量，其方向沿自转轴。tLMddrr∥MtMLrrrddLMrr^LLrr^d只改变方向而不改变大小，从而产生旋进运动。Lr2020/1/2129判断进动的方向。垂直纸面向里。垂直纸面向外。