第二章 控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型§2-1控制系统的时域数学模型§2-3控制系统的结构图与信号流图§2-4数学模型的实验测定法§2-2控制系统的复域数学模型引言工程的最终目的是建造实际的物理系统以完成某些规定的任务,而用控制理论分析、设计一个自动控制系统,首先需要建立实际物理系统的数学模型。实际系统物理模型数学模型理想化的简化假设的目的是为了便于分析设计,但这将影响模型的精度,所以必须在模型的简单性及分析结果的精确性之间折衷。建模过程实质上是对控制系统,首先是对被控对象调查研究的过程,只有通过对系统的仔细调研忽略掉一些非本质因素，才能建立起既简单又能反映实际物理过程的模型。一、为什么要建模?简化系统的假设数学描述二、系统建模的两种基本方法三、线性定常系统的数学模型①机理分析法②实验辩识法飞升实验法频率特性测试法参数辩识①外部描述(I/O描述)微分方程传递函数频率特性状态方程多项式矩阵②内部描述§2-1控制系统的时域数学模型一、线性元件的微分方程例2-1：RLC无源网络解：由基尔霍夫定律，列电压方程，可得:()1()()()1()()ioditLitdtRitutdtCutitdtC)()()()(22tutudttduRCdttudLCioooLRC()iut()out()it消去中间变量，可得:cdqi=dtq=cu例2-2：机械旋转系统解：设圆柱体的质量分布均匀，质心位于旋转轴线上，则其运动方程为：2fs2dJθ=T=T-T-Tdt22ddJθ+fθ+kθ=TdtdtfsdT=fω=fθT=kθdt，式中：f：粘性摩擦系数，k：弹性扭转变形系数。TsTkTfdTfdtJ整理得：例2-3：带阻尼的弹簧质量系统mKf)(tx)(tF解：由力平衡方程，可得：)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm前述三个例子中，表征RLC电路系统、机械旋转系统、弹簧阻尼系统的三个微分方程，虽然有着不同的物理含义，却有着相似的形式：)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo22ddJθ+fθ+kθ=Tdtdt)()()()(22tFtKxdttdxfdttxdm定义：把数学模型相同(有相同的运动形态)的各种物理系统称为相似系统。在相似系统的数学模型中，作用相同(物理意义不同)的变量称为相似变量，如：()()()LJmqxuTF、、、、、、、、相似系统的概念，使得一种物理系统研究的结论可以推广到其相似系统中去。利用相似系统的特点，可以进行模拟研究，即用一种比较容易实现的系统（如电系统）模拟其他较难实现的系统——仿真。例2-4：电枢控制直流电机解：电枢回路电压平衡方程aaaaaaEtiRdttdiLtu)()()(由电磁感应定理，列反电势方程)(tCEmea反电势系数eC由电磁转矩方程，得:由转矩平衡方程，得:消去中间变量，得:)(tia)()(tiCtMamm:电磁转矩，mM:转矩系数。mCcacaammemmammamammaMRdtdMLuCCCfRdtdJRfLdtdJL)()(22)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm:外加负载。cmmMJf:粘性摩擦系数。:转动惯量。fiaLaRaiaummmJf负载aESM若电枢电感aL很小，可略去，则有：cammmMKuKdtdT21其中：emmamamCCfRJRT——电动机机电时间常数emmamCCfRCK1——电动机传递系数a2ammeRKRfCC，若进一步假设电枢电阻aR很小，可略去，则有和转动惯量mJ)()(tutCame测速发电机结论：同一种元件，在不同的场合、不同的系统中，其描述方程可以不同。总结——建立控制系统微分方程的基本步骤：①根据线性元件在系统中的作用，确定其输出量和输入量；②根据元件遵循的物理、化学规律，列写相应的微分方程；③消去微分方程的中间变量；④标准化微分方程：输入量相关的项，放在等式右边；输出量相关的项放在等式左边。二、控制系统微分方程的建立解：1)列写各元件的微分方程例2-5：速度控制系统的微分方程（P24）放大器I：)(11tiuuKu121RRK放大器II：)(1122udtduKu12RRKRC，功率放大器：32auKu直流电机：mmmmaccdTKuKMdt1Riu1Rtu2R1K1u放大器Ⅰ1u2u2K放大器II1RRC测速发电机：ttuK齿轮传动系统：m/i2)消去微分方程的中间变量,并整理。输入量相关的项，放在等式右边；输出量相关的项放在等式左边。在上述各式中，消去1u2uaumtu得：、、、、ccigigmMKuKdtduKdtdT'''微分方程的一般形式：11010111()()()()()()nnmmnmnnmmdctdctdrtdrtaaactbbbrtdtdtdtdt线性系统满足线性特性，包括：可和性也叫叠加原理。①可和性：有限多个输入的总结果，等于每个输入单独作用的结果之和，即：。()()iifxfx②齐次性：一个输入乘以常数作用的结果，等于这个输入作用的结果乘以常数，即：。()()fxfx线性特性在系统分析中的意义：复杂输入作用下系统的特性，可以通过对简单输入信号作用下的特性来分析得到。系统输入信号幅值是不定的，不同幅值信号作用的特性，可用一个标准幅值信号作用的特性来得到。三、线性系统的特性解线性定常微分方程的方法：经典法(微积分方法)拉氏变换法(Laplace)计算机数值解法四、线性定常微分方程的解拉氏变换的定义：设函数满足：①为实函数；②当时，；③当时，的积分在的某一域内收敛。()ft()ft0t()=0ft0t()ft0()-stftedts则函数的拉普拉斯变换存在，并定义为：()ft拉氏反变换：0()[()]()stFsftftedtL，()Fs()Fs()ft()ft式中：(均为实数)；称为函数的拉普拉斯变换或象函数，称为的原函数；为拉氏变换的符号。sjL11()[()]()02jstjftFsFsedstjL,其中：为拉氏反变换的符号。1L单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数幂函数指数函数三角函数)(t)(1ttntatetcos1s1as121s1!nsn22s22sstsin常用拉氏变换函数：★★★★线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理)]([)]([)]()([2121tfbLtfaLtbftafL0|)()0(),0()(])([ttfffssFdttdfL00110|)()0(,)0()(])([tttdttffsfssFdttfL)()]([asFtfeLat)()]([sFetfLs)()()](*)([sGsFtgtfL)(lim)0()(lim0ssFftfst)(lim)()(lim0ssFftfst拉氏变换运算定理(0)01Ai.1HL1Ro(0)01Vu.()1Viut1FC例2-6：例2-1的电路参数如图，在零时刻，开关拨到信号源，求此后电容电压的变化规律。iu解：由例2-1其微分方程为：)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo将参数代入，得：()()()()oooiutututut对等式两边取拉氏变换，得：suussUssooo/1)0()0()1()()1(2初始条件：(0)01V(0)(0)01oou.ui/C.，整理后可得：221(1)0.1()2)1(osssssssU拉氏反变换，得:005511115(086602(0866301()()20))..oottu.tUesin.esin.st.tL外加输入的响应:051115(0866120).t.esin.t初始激励的响应:0502(086630).t.esin.t解：方程两边拉氏变换得：例2-7：设有线性微分方程：，初始条件：22566dydyydtdt(0)(0)yy2()(0)6()(0)6()(0)ssYsYsysyYssy代入初始条件得：22221262126()(56)(2)(3)ssssYsssssss拉氏反变换得：3245)1(0ttteyte145()32Yssss用部分分式展开法求得：22021266()()(56)16tssslimytlimsYsss终值定理验证：()=1y3245ttee稳态分量：瞬态分量：拉氏变换法解微分方程的步骤：②由代数方程解出输出量的拉氏变换表达式。①对微分方程中的每一项取拉氏变换(要考虑初始条件),得到一组包含拉氏算子的代数方程；s③求输出量的拉氏反变换，即得到所求结果。五、非线性微分方程的线性化实际的物理系统往往有死区、饱和、间隙等各类非线性现象，即输出量（受控量）与输入量之间的函数关系要用非线性方程来描述。由于非线性方程的性质一般比线性方程复杂得多，所以在工程上常常希望能用线性关系近似地代替非线性关系，这就是所谓的线性化处理。方法：切线法或小偏差法或小范围线性化，特别适用于具有连续变化的非线性特性函数，其实质就是在一个很小的范围内，将非线性特性用一段直线代替。A0x0yxy0()yfx如图，对非线性函数，取某平衡状态为工作点(须选定)。设在点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为：()yfxAy00(y)x,000002200()()()()()1()2!x2xdfxyfxfxxxdxdfxxxdx00000()()()()xdfxyyfxfxxxdx0()xx当很小(小范围)时，有：即：00()y()xdfxkxkdx略去增量符号得在工作点附近的线性化方程为：()yfxAykx000000()()()x,yx,yfffx,yfx,yxyox,yxyxyfkxky对于含有两个自变量的函数，同样有：()zfx,y线性化中的参数，与选择的工作点有关，工作点不同，相应的参数不同。线性化时应注意使用条件，包括信号变化的范围。范围越大，用上述方法建模引起的误差较大。若非线性函数是不连续的，由于在不连续点的邻域不能得到收敛的泰勒级数，因此不能采用上述方法。注意：六、运动的模态线性微分方程的解为特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根所决定，它代表自由运动。如果阶微分方程的特征根是且无重根，则把函数称为该微分方程所描述运动的模态。也叫振型。它与系统的输入量和输出量无关，只取决于齐次微分方程(即控制系统的特征方程)，每种模态代表一种典型的运动形式。n12n,,12nttte,e,,e12123()nttteeeytccc(由初始条件决定)ic重根模态：1ttkte,te,,te共轭模态：atatesintecost，§2-2控制系统的复域数学模型一、传递函数的定义和性质定义：零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。()()()CsGsRs说明：零初始条件(初始状态为零)有两方面的含义：一是指输入量是在时才作用于系统，因此，在时，输入量及其各阶导数均为0；二是指输入量加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即输出量及其各阶导数在时的值也为零。0t0t0t线性定常系统才定义了传递函数。()Gs()Cs()Rs系统框图：性质：①系统传递函数可以通过对系统的微分方程描述，在零初始