2-linear-sys

例题例1.3.1给定实现{A,b,c},其特征多项式为nnnasasAsIsa...||)(11传递函数为nnnnnasasbsbbAsIc......)(11111试证明，{A,b,c}能化为控制器规范型的充要条件为{A,b,c}能控.证明：设法找到一个可逆阵T,使得.,,11cccccTbbTAATT设T=[t1,t2,…,tn],由于bc=[10…0]T,所以b=Tbc,即.00111tttbn另外TAc=AT=[At1,At2,…,Atn],即nnncAtAtAtaaattTA2121101001上式对应各列相等得到....,,12111111121212233122111122111babAabAtaAttttaAtbaAbabAtaAttttaAtbaAbtaAttttaAtnnnnnnnnn把上面各等式写成TnnnLaaabAAbbtttT11111121由于总是非奇异，因此，T非奇异L非奇异，即{A,b,c}能控。从本例可看出，任何能控的同阶实现{A,b,c}都与控制器规范型相似；不难验证，所以TcL11cLLT例1.3.2已知传递函数b(s)/a(s),其中,...)(111nnnnasasassannnbsbsbsb111...)(证明，b(s)/a(s)的控制器规范型实现{Ac,bc,cc}能观测的充要条件是b(s)与a(s)互质。证明：利用友矩阵的位移性质：,2,1nieAeicTi其中是单位阵In的第i行，,2,nieTincTaaAe11可得,,,111111111111nccnccTncncTncTccccTnccTncTncnTnnTTnnncTnnTnncTncTnAcAAbeAbAeAbeAcAAbeAbAeAbecbbebebebAebbeAbeAbe把这些写成等式，得到111)(nccccccTTnTnAcAccAbeee01110~,)(~IOAbIcc上式表明，Oc非奇异b(Ac)非奇异|b(Ac)|0,而),(|)(|1inicbAb式中，是Ac的特征值。若要例1.3.3设{A1,b1,c1}和{A2,b2,c2}是同一传递函数的两个实现.若|sI-A1|=|sI-A2|,且两实现均能控，则此二实现相似；同样，若它们都能观测时，也相似。证明：仅证明能控时的情形.由于{A1,b1,c1}和{A2,b2,c2}均能控,所以L1,L2非奇异.令T=L1L2-1则有i.)()()(,,1,0)(0)(|)(|1互质与的根不是sasbsbnibbAbiiinic)24.3.1(001221111112111211bLbbAAbbLbLLbTn这里用到下列事实nnnIbAAbbbAAbb111111111若记TnTnqqbAAbb111111则有nnTnTIbAAbbqq11111下面再验证2121111211ALLALLTAT1111LAL我们考察，为清楚起见设n=3.由Cayley-Hamilton定理，,031221131IaAaAaA于是123131221112111321131121111121111121111111211111111100100aaabIaAaAabAbAqqqbAbAbAbAbAbbAbAbAbAbAbLALTTT同理可得1232212100100aaaLAL从而可知因而22121111LALLAL)26.3.1(21222122121111211ALLALLLLALLTAT再验证c2=c1T.由Markoff参数由传递函数唯一确定，所以,,,212211112221112211bAcbAcbAcbAcbcbcnn将上述等式写成212222111111bAcbcbAcbcnn即2122211111bAbcbAbcnn或)27.3.1(1121122211TcLLccLcLc由(1.3.24),(1.3.26),(1.3.27)可知{A1,b1,c1}和A2,b2,c2}相似.此外，还有T-1L1=L2,(1.3.28)若还存在变换阵使得(1.3.24),(1.3.26),(1.3.27)成立，则由(1.3.28)可知，必有T~,~211LLT即,~1111LTLT由于非奇异，所以有;这表明{A1,b1,c1}和A2,b2,c2}相似时，变换阵是唯一的。11~TT相似变换的几何解释在n维空间中，任给一向量x=[x1…xn]T,我们认为该向量是对标准正交基而言的，即nnxxxeeex2121这样，x的各分量就是在标准正交基下的坐标。在相似变换中，T为过渡矩阵，其列ATTA1nnnnnttttttT11111为新基在原基下的坐标。例1.3.4将能控的实现{A,b,c}化为能控性规范型.解：由于{A,b,c}能控，所以非奇异；取L的各列为新基，即过渡矩阵为T=L，作坐标变换；设变换后的实现为,则,于是bAAbbLn1},,{cbAbTb1bTbAAbbbn0011所以Tb001另外，利用Cayley-Hamilton定理得到....0)...(1111babAabAbIaAaAnnnnnn所以111110100aaabAAbbbAAbbAATnnnnnnnbcAcAbcbbAAbbccTc2111这样，在基下，状态方程为bAAbbn1nnnyuxaaax2111001~10100~1.3.2最小实现，能控性，能观测性检验1.最小实现定义1.3.1(最小实现）一个传递函数的阶数最低的实现称为这个传递函数的最小实现。引理1.3.1：如果传递函数有一个能控能观的n阶实现，则该传递函数的一切n阶实现都是能控能观测的。证明：对任一实现{A,b,c},Hankel阵都有nnnnnasasbsbsasbsH......)()()(1111)40.3.1(]1,1[22111OLbcAbcAbcAbcAbcAcAbbcAcAbcbnMnnnnnn由于cAi-1b=hi,I=1,2,…,仅取决于传递函数，所以如果{A1,b1,c1},{A2,b2,c2}是H(s)的两个n阶实现，那么由式（1.3.40)知必有O1L1=O2L2,由题意，设{A1,b1,c1}能控，能观测O1和L1非奇异O1L1非奇异O2和L2非奇异{A2,b2,c2}能控，能观测。由例1.3.2知道，传递函数H(s)的控制器型实现能观测b(s)和a(s)互质；由此和引理1.3.1立即得出：定理1.3.1传递函数b(s)/a(s)不可约所有n=阶实现能控，能观测。定理1.3.2{A,b,c}是最小实现a(s)=|sI-A|和b(s)=c(sI-A)*b互质。证明：已知{A,b,c}是最小实现,如果b(s)/a(s)可约，这时由约化后的传递函数可以得到一个维数更低的状态空间实现，这与{A,b,c}是最小实现矛盾。设a(s)和b(s)互质，如果此时{A,b,c}不是最小实现，那么必定存在维数更低的实现{A1,b1,c1}，它的传递函数的分母的次数必定低于A的维数n,这表明b(s)/a(s)可约,与题设矛盾.)(sa综合定理1.3.1和1.3.2便得到定理1.3.3{A,b,c}是最小实现{A,b,c}能控，能观测。2.不能控，不能观实现的标准形如果实现{A,b,c}满足rankL=rn,则该实现不能控；我们将证明可以通过相似变换把它变换成另外一种实现，在这种实现中，能控和不能控状态可以区别开。（1）不能控实现的标准型设{A,b,c}满足rankL=rn，则存在变换阵T,使得其中具r行；,,,11cTcbTbATTA,,0,012ccccccccbbAAAA,rrcRAcb其中1)rr阶子系统是能控的；2）状态变量相应地分为称为能控状态，称为不能控状态。证明：先证2).下证1).因为rankL=rn,所以L中有r列线性无关，则可以证明L的前r列线性无关；因此在),,(ccccbAcccbAsIcbAsIc11)()(xccxxxcxcxcccccccccbsIcbAsIAsIccbAsIAAsIcbAsIc1111121)(00*0)(bAAbbLn1中，后n-r列都可表为前r列的线性组合；特别地，设....121bAAbbbArrr取L的前r列作为新基的前r个基向量，然后扩充成n维向量nrrvvbAAbbT......11将此视为变换，则**000**00001**01**00............211112rnrrnrrvvbAAbbAvAvbAbAAbAT00001......11nrrvvbAAbbb（2）不能观测实现的标准形如果实现{A,b,c}有rankO=rn，则存在变换阵T,使得其中cccccTc,,,11cTcbTbATTA其中1)rr阶子系统是能观的；且证明：由于rankO=rn，O的前r行线性相关，故,,0,021oocoobbbccAAAA),(oocAooobAsIcbAsIc11)()(....121rrrcAcAccA取O的前r行作为新基的前r个基向量，然后扩充成n维向量（行）nrrvvcAcAcT111则nrrrnrrvvcAcAcAvAvcAcAcAAT1121121**********0000100010oonrrbbbTbvvcAcAcc11100001