力学动态平衡问题

1力学动态平衡问题所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态中。解决动态平衡问题的思路是，①明确研究对象。②对物体进行正确的受力分析。③观察物体受力情况，认清哪些力是保持不变的，哪些力是改变的。④选取恰当的方法解决问题。根据受力分析的结果，我们归纳出解决动态平衡问题的三种常用方法，分别是“图解法”，“相似三角形法”和“正交分解法”。1、图解法在同一图中做出物体在不同平衡状态下的力的矢量图，画出力的平行四边形或平移成矢量三角形，由动态力的平行四边形（或三角形）的各边长度的变化确定力的大小及方向的变化情况。适用题型：（1）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，三个力方向都不变，其中一个力大小改变。例1、重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间，若对小球施加一通过球心竖直向下的力F作用，且F缓慢增大，问在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2如何变化？解析：选取小球为研究对象，小球受自身重力G，斜面对小球的支持力F1，挡板对小球的弹力F2和竖直向下的压力F四个力作用，画出受力示意图如图1-2所示。因为力F和重力G方向同为竖直向下，所以可以将它们等效为一个力，设为F，这样小球就等效为三个力作用，力的示意图如图1-3所示。画出以F1和F2为邻边的力的平行四边形，因为三力平衡，所以F1和F2的合力F合与F等大反向（如图1-4所示）。各力的方向不变,当F增大，F合应随之增大，对应平行四边形的对角线变长，画出另一个状态的力的矢量图（如图1-5所示），由图中平行四边形边长的变化可知F1和F2都在增大。根据物体在三个力的作用下平衡时，这三个力一定能构成一个封闭的矢量三角形。这样也可以将上述三个力F、F1、F2平移成矢量三角形（如图1-6所示），由F增大，可画出另一个状态下的矢量三角形，通过图像中三角形边长的变化容易看出F1和F2都在增大。图1-1图1-2图1-3图1-4图1-5图1-62（2）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力（通常是重力），其余两个力中一个方向不变，另一个方向改变。例2、如图2-1所示，OB绳水平，OA绳与竖直墙面夹角为θ。现保持θ不变，将B点缓慢上移，则OA绳和OB绳中的张力大小如何变化？解析：OA绳和OB绳中张力就是两根绳对O点的拉力，所以选取O点为研究对象，分析O点受力如图2-2所示，其中F为重物通过绳子对O点的拉力（其大小等于物重）。当B点缓慢上移时，O点一直处于三力平衡状态。其中F的大小、方向均不变，是恒力。F1的方向不变，F2的方向改变。画出若干状态下以F1和F2为邻边的平行四边形，如图2-3所示。F不变，则平行四边形的对角线不变；拉力F1方向不变，则平行四边形的一组邻边OA方向不变。故由图可以看出F1逐渐减小，F2先减小后增大。如果利用矢量三角形分析，如图2-4所示，拉力F、F1、F2构成一封闭矢量三角形，可以看出因F不变，所以三角形边长oa不变；因为边长ab变短，所以F1变小；因为边长ob先变短后又变长，所以F2先变小后变大。当F2与F1方向垂直时，F2最小。所以OA绳中张力变小，OB绳中张力先变小后变大。例3、如图3-1所示，一个重为30N的重物，用绳悬于O点，现用力拉重物，要使重物静止在悬线偏离竖直方向30°角的位置，所用拉力F的最小值为（）A15NB30NCN310DN315θ图2-1图2-2图2-3图2-4图3-1图3-2图3-3图3-43解析：选取重物为研究对象，受力图如图3-2所示，其中G为物体重力，T为绳子对物体的拉力。因为重物静止，所以物体处于三力平衡状态。T和F的合力G’应与物重G等大反向。当拉力F的方向改变时，重力G为一个恒力不变，拉力T方向始终不变，因此画出不同状态下以T和F为邻边的平行四边形，如图3-3所示。在F方向改变的过程中，平行四边形的对角线不变，拉力T对应的邻边的方向不变，要使拉力F最小，就要使其对应的边长最短，可以发现，当F与T垂直时，F最小。由三角函数知识可知，此时F=Gsin30°=30N×0.5=15N。本题若利用矢量三角形解则更为方便，如图3-4所示，重力G，绳拉力T，拉力F构成一封闭矢量三角形。因T的方向不变，要使拉力F最小，显然应当是F与T垂直时。所以选项A正确。（3）物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力，其余两个力方向都改变。例4、一个相框用轻绳对称的悬挂在一个固定在竖直墙面的钉子上（如图4-1所示），不计绳与钉子间摩擦。如果换用一根较短的轻绳以同样的方式悬挂，问绳子中的张力将怎样变化？解析：选取相框为研究对象，相框受重力G和绳的拉力F作用，由于是同一根绳子，所以两个拉力大小相等。虽然三个力的作用点不在同一点，但是它们的作用线交于同一点O，所以三个力是共点力。其受力图如图4-3所示，由对称性可知，以两个拉力F为邻边的平行四边形是菱形。若换用较短绳子，则两个拉力间的夹角变大（如图4-3所示），画出此状态下的受力图，如图4-4所示，由于G不变，所以菱形的对角线不变，当两拉力F夹角变大时，菱形两个邻边变长，所以拉力F变大。所以绳中的张力变大。2、相似三角形法画出力的矢量三角形，找力学三角形与几何三角形相似，利用各对应边成比例的关系，确定力的大小变化情况。适用题型：图4-1图4-2图4-3图4-3图4-44物体受三个力（或可等效为三个力）作用，一个力是恒力，其余两个力方向都改变。（通常问题较复杂）例5、如图所示，在半径为R的光滑半球面上高为h处悬挂一定滑轮，重力为G的小球被站在地面上的人用绕过定滑轮的绳子拉住，人拉动绳子，小球在与球面相切的某点缓慢运动到接近顶点的过程中，求小球对半球的压力和绳子的拉力大小将如何变化？解析：选取小球为研究对象，小球受竖直向下的重力G，沿绳子的拉力F和沿半径向外的支持力N三个力作用。将N和G合成，其合力与F等大反向（如图5-2所示）。当小球沿球面向上运动过程中，拉力F和支持力N的方向都在改变，通过矢量三角形难以判断N和F的变化。所以寻找相似三角形，容易证明图中力学三角形（阴影部分）与几何三角形OAB相似，根据对应边成比例可得到以下关系：LFRNRhG，因为h+R不变，所以G不变；因为R的长度不变，所以N的大小不变；因为L逐渐减小，所以F逐渐减小。由牛顿第三定律，N大小不变，则小球对半球的压力大小也不变。所以小球对半球的压力大小不变，绳子的拉力逐渐变小。例6、如图所示，某人执行一项特殊任务，需从半球形屋顶B点向上缓慢爬行到A点，他在爬行过程中（）A屋顶对他的支持力变小B屋顶对他的支持力变大C屋顶对他的摩擦力变小D屋顶对他的摩擦力变大解析：选取人为研究对象，人受到重力G，沿半径向外的支持力N和沿球面切线方向向上的摩擦力f三个力作用。将N与f合成，其合力与G等大反向（如图6-2所示）。当人向上爬行时，N与f的方向都在改变，而N与f之间一直是垂直的，所以可以寻找相似三角形。过B点做底面垂线BC交底面于C点，容易证明图中力学三角形（阴影部分）与几何三角形OBC相似。所以有：OCfBCNOBG，因为OB、G不变，而BC变长，OC变短，所以N变大，f变小。所以选项B、C正确。3、正交分解法利用正交分解建立坐标系，将变力按选定的方向进行分解，则有ΣFx=0，ΣFy=0。要抓住不变量，通过角度变化导致三角函数变化，从而进行判断。注意选择合适的坐标系，一般应遵循的原则是：不在坐标轴上的力越少越好，各力与坐标轴的夹角是特殊角为好。图5-1图5-2图6-1图6-25适用题型：物体受多个共点力作用（多力平衡）。例7、人站在岸上通过定滑轮用绳牵引低处的小船，若水的阻力不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法中正确的是（）（A）绳的拉力不断增大（B）绳的拉力保持不变（C）船受到的浮力保持不变（D）船受到的浮力不断减小解析：选取小船为研究对象，分析其受力，小船受到重力G，拉力F，浮力F浮，阻力f共四个力作用。由于小船匀速运动，所以处于平衡状态。利用正交分解法，在水平和竖直方向建立如图7-2所示的平面直角坐标系，设拉力F与水平方向的夹角为θ，将F按x轴和y轴分解。由平衡条件和几何关系可得：水平方向：f=Fcosθ竖直方向：Fsinθ+F浮=G因船在靠岸过程中夹角θ在增大，所以cosθ减小，又f不变，所以F增大。又因为sinθ增大，所以Fsinθ增大，因G不变，所以F浮减小。所以选项A、D正确。例8、如图所示，质量分别为M，m的两个物体系在一根通过轻滑轮的轻绳两端，M放在水平地面上，m被悬在空中，若将M沿水平地面向右缓慢移动少许后M仍静止，则（）A绳中张力变大B滑轮轴所受的压力变大CM对地面的压力变大DM所受的静摩擦力变大解析：首先研究m，由m受力平衡知绳中拉力始终等于物体m的重力，所以绳中张力不变，A错误。物体M右移后，左段绳与竖直方向的夹角减小，即两段绳对滑轮的拉力之间的夹角减小，所以滑轮受到两段绳拉力的合力增大，所以受到的压力变大，B正确。然后研究M，分析M的受力如图8-2所示，设左段绳对M的拉力与竖直方向的夹角为θ，利用正交分解法由平衡条件有：水平方向：f=Tsinθ竖直方向：N+Tcosθ=Mg因T=mg不变，θ减小，sinθ减小，所以f减小。又Mg不变，cosθ增大，所以N减小。所以选项C、D均错误。所以选项B正确。图7-1图7-2图8-1图8-2