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第3章实数3.1平方根[必练篇]1．了解数的平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根和算术平方根．2．了解开平方与平方互为逆运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的平方根和算术平方根．1.如果一个数的__平方__等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有__正、负两__个平方根，它们互为__相反数__；0的平方根是__0__，__负__数没有平方根．2.一个正数a的平方根用±a表示，其中a叫做__被开方数__．__求一个数的平方根的运算__叫做开平方．开平方是平方运算的逆运算．例如，x2＝a，那么x＝__±a__．因此，可以运用平方运算求一个数的平方根．3.正数的正平方根称为__算术平方根__，0的算术平方根是__0__，一个数a(a≥0)的算术平方根记做__a__．4.x2＝16，那么x＝__±4__．5.[2017·山西]4的算术平方根是(A)A.2B.－2C.±2D.166.若要剪一个面积为16cm2的正方形，则它的边长为__4cm__．题型一求非负数的平方根与算术平方根典型例题1计算：(1)－16；(2)0.01；(3)（－3）2；(4)1625.解：(1)－4;(2)0.1;(3)3;(4)45.巩固练习1计算：(1)±81；(2)1.44；(3)±169.解：(1)±9;(2)1.2;(3)±13.题型二平方根与算术平方根的应用典型例题2已知一个自然数的平方根是±a(a0)，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是__±a2＋1__．解析：可以求出这个自然数为a2＋1，则它的平方根为±a2＋1.巩固练习2如果一个自然数的平方是n，那么比这个自然数大10的数是__n＋10__．A组基础练1.“916的平方根是±34”用数学式子表示应是(A)A.±916＝±34B.±916＝34C.916＝34D.－916＝－342.9的算术平方根是(A)A.3B.－3C.±3D.±33.若一个数的平方根是它本身，则这个数是(B)A.1B.0C.0和－1D.0或14.一个数的平方等于256，则这个数是__±16__．5.一个数的一个平方根是±9，那么这个数为__81__．6.计算：(1)－100169；(2)0.25；(3)±625；(4)5116.解：(1)－1013；(2)0.5;(3)±25;(4)94.B组提升练7.高为2且底面为正方形的长方体的体积为32，则长方体的底面边长为(C)A.1B.2C.4D.88.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列一定有平方根的数是(C)A.－aB.b－aC.－bD.无法确定9.“平方根节”是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的平方根．例如2009年的3月3日，2016年的4月4日．请你写出本世纪内你喜欢的一个平方根节(题中所举例子除外)__2001年01月01日(答案不唯一)__．10.若一个正方形面积为25m2，则这个正方形的周长为多少？解：正方形的边长为5m，周长为5×4＝20m.C组挑战练11.一个数n(n0)扩大到原来的100倍，那么它的平方根会发生什么样的变化呢？解：数n(n0)的平方根为±n，n扩大100倍后为100n，平方根变成±100n，即为±10n，∴它的平方根会扩大或缩小10倍．3．1提高班习题精选[选练篇]本课时可延伸出的考点：①求平方根；②求算术平方根．求平方根，在中考中常作选择题或填空题的第1题来考查，属于简单题，多是求一个正整数的平方根，如求4，9，16，25等；求算术平方根，也常作选择题或填空题的第1题来考查，难度不大．注意平方根与算术平方根的区别及成立条件，这往往也是中考的切入点．1.设a是9的平方根，B＝(3)2，则a与B的关系是(A)A.a＝±BB.a＝BC.a＝－BD.以上结论都不对2.若a是有理数，则a2＋1，3|a|＋5，|a|－2，4a4＋2a2中，一定有平方根的数有(B)A.4个B.3个C.2个D.1个3.在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P，由电功率计算公式P＝U2R可得，它两端的电压U＝__PR__．第4题4.如图，每个小正方形的边长为1，则阴影正方形的面积是__8__，边长是__8__．5.小明房间的面积为10.8m2，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多少？解：每块地砖的面积为S＝10.8120＝0.09(m2)，边长为0.09＝0.3(m)．第6题6.公园内有一个正方形花坛(如图)，花坛四角有四棵树，现在园艺设计师想把花坛的面积扩大一倍，并使扩大后的花坛还是正方形，又不想搬动四棵树，你能帮他设计吗？(请在下图中画出设计图)如果原花坛的面积是50m2，新的花坛的边长为多少？解：连结原正方形的两条对角线，将正方形分为四个直角三角形，然后将这四个三角形分别沿正方形的四条边翻出去，就成了一个大正方形．边长为10m.1.[2017•日照]4的算术平方根是(C)A.2B.±2C.2D.±22.[2016·金华]能够说明“x2＝x”不成立的x的值是__－1(答案不唯一)__(写出一个即可)．微专题三活用非负数的性质解题[选练篇]算术平方根、完全平方数、绝对值都是非负数，且一个数的算术平方根具有双重非负性．根据“几个非负数之和等于0”，可得出这几个非负数均为0，从而求得相关值．探究一绝对值与完全平方数的非负性的应用典型例题1已知||6－2a＋()b－4c2＋2a＋32b＝0，求a－b＋c的平方根．解：由题意知：6－2a＝0，∴a＝3；2a＋32b＝0，∴b＝－4；b－4c＝0，∴c＝－1.故a－b＋c＝6.∴a－b＋c的平方根为±6.1.若||x－4＋()y＋32＝0，则x＋y的值是(A)A.x＋y＝1B.x＋y＝－1C.x＋y＝1或x＋y＝－1D.无法确定探究二被开方数的非负性的应用典型例题2已知x，y都是实数，且y＝x－3＋3－x＋5，求3x＋y的值．解：根据被开方数为非负数可得：x－3≥0且3－x≤0，∴x＝3.∴y＝5，故3x＋y＝14.1.已知a为实数，求a＋2＋2－4a＋－a2的值．解：根据被开方数为非负数可得：－a2≥0，∴a＝0.故a＋2＋2－4a＋－a2＝2＋2＝22.探究三被开方数与绝对值或完全平方数的非负性的应用典型例题3若||3－a＋2＋b＝0，则a＋b的值是(B)A.2B.1C.0D.－11.若实数m，n满足()m－12＋n＋2＝0，求()m＋n5的值．解：－1探究四算术平方根的双重非负性的应用典型例题4若a＋a－2＝2，则a＋2的值为__2__．解：原式为a－2＋a－2＝0，从而a－2≥0，得a－2≥0，故a＝2.从而可得a＋2＝2＋2＝2.1.当x＝__－12__时，y＝2x＋1＋6有最小值，最小值为__6__．解：∵被开方数为非负，∴2x＋1≥0，即x≥－12.∴2x＋1≥0，y≥6.故当x＝－12时，y有最小值6.3．2实数[必练篇]1．了解无理数和实数的概念，能对实数按要求进行分类．2．了解实数与数轴上的点的一一对应关系．3．理解有理数的相反数、倒数、绝对值、数的大小比较法则同样适合于实数．1.像2这种__无限不循环小数__叫做无理数．2.__有理数__和__无理数__统称为实数．实数与数轴上的点__一一对应__．名师微博实数的分类(1)按概念分：(2)按正负分：分类标准不同，分法也就不同，但不管哪种分法都要做到不重不漏．3.在数轴上表示的两个实数，__右边__的数总比__左边__的数大．4.－2的相反数是__2__，绝对值是__2__．5.请你写出两个在1和4之间的无理数：__3，5(答案不唯一)__．名师微博(1)理解无理数的概念应抓住两个要素：①无限小数．．．．；②不循环．．．．二者缺一不可．(2)无理数的主要形式：①开方开不尽的方根，如：2，5，39(下节学习)，…；②圆周率π及一些含有π的数，如π，π3，π－4等；③具有特殊结构的数，如：0.1010010001…(每两个“1”之间依次多一个“0”)．(3)当数的范围从有理数扩充到实数后，有理数中关于相反数、倒数和绝对值的相关性质同样适用于实数．(4)无理数的估值：当一个无理数的整数部分确定后，用原数减去整数部分即可得到它的小数部分．题型一实数的概念及其分类典型例题1下列各数中：①17，②－π，③5，④0，⑤0.3，⑥－25，⑦－2，⑧0.3131131113…(两个3之间依次多一个“1”)．(1)属于有理数的有__①④⑤⑥__；(2)属于无理数的有__②③⑦⑧__(填序号)．巩固练习1在－2.87，227，π，94，3.25，3，22，－3.14，125，0，5，1.212112…这几个数中，无理数的个数是(C)A.4个B.5个C.6个D.7个题型二实数与数轴上点的对应关系及大小比较典型例题2在数轴上表示下列各数，并把它们按从大到小的顺序排列，用“＞”连接：－0.3·，－2，52，0，3.14，－π2.解：3.14＞52＞0＞－0.3•＞－2＞－π2.巩固练习2实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列式子中正确的是(D)A.－abcB.abacC.－a＋b－a＋cD.||a－b||a－c点拨实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的任何一个点都表示一个实数．A组基础练1.[2017•宁波]在3，12，0，－2这四个数中，为无理数的是(A)A.3B.12C.0D.－22.下列语句：①无理数的相反数是无理数；②无理数就是开方开不尽的数；③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是(C)A.①②③B.②③④C.①④D.②④3.[2017·大庆]实数a，b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是(B)A.a＋b0B.a－b0C.ab＞0D.|b||a|4.如图，在数轴上近似表示实数15的是(C)A.点PB.点QC.点MD.点N5.比较大小：－5____－3，3____π，7____53.6.写出一个无理数，使它与3的积是有理数：__3(答案不唯一)__．7.若将三个数－3，7，13表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__7__．8.在数轴上表示下列各数，并把它们按从小到大的顺序排列，用“”连接．－5，0，－23，π，7，2.5.解：数轴上表示略，－5－2302.57π.B组提升练9.已知a是5的整数部分，b是11的整数部分，求a＋b的值．解：459，即253，∴5的整数部分为2，同理，11的整数部分为3，∴a＋b＝2＋3＝5.第10题10.利用如图所示的4×4方格，每个方格边长为1个单位，作出面积为10平方单位的正方形，然后在数轴上表示10与－10.解：数轴上表示略．3．2提高班习题精选[选练篇]本课时可延伸出的考点：①无理数的识别；②实数的大小比较．无理数的识别，是中考的常考点，主要考查从一些实数中找出无理数，试题以选择题为主，偶有填空题，属于基础题．实数的大小比较常与无理数的估算、数轴等知识点结合考查，以选择题或填空题的考查形式为主，难度不大．1.下列说法中正确的是(D)A.实数－a2是负数B.实数－a的绝对值是aC.|－a|一定是正数D.a2＝||a2.若－（4－a）2是一个实数，则满足这个条件的a的值有(B)A.0个B.1个C.2个D.3个3.如图，在数轴上，1，2的对应点为A，B.A是线段BC的中点，则点C所表示的数是(A)A.2－2B.2－2C.2－1D.1－24.不大于5的所有正整数的和是__3__．5.当x＝__±3__时，3－(|x|－3)2有最大值，最大值是__3__．6.函数[M]表示不超过M的最大整数，如[－2.5]＝－3，[2.5]＝2，则[－10]＝__－4__．7.如图1，在5×5正方形ABCD中，每个小正方形的边长都为1.第7题(1)如图2，连结各条边上的四个点E，F，G，H可得到一个新的正方形，那么这个新正方形的边长是多少呢？它是整数吗？(2)如图3，将新正方形做如下变化，点E向