高一年段数学培优教材第六讲 三角恒等变换

知识要点：1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：sinsincoscossinsin22sincos令2222222coscoscossinsincos2cossin2cos112sintantan1+cos2tancos1tantan21cos2sin22tantan21tan令　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝　　　2.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:①巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()，2()()，2()()，22，222等）.如（1）已知2tan()5，1tan()44，那么tan()4的值是_____（答：322）；（2）已知02，且129cos()，223sin()，求cos()的值（答：490729）；（3）已知35sin()coscos()sin，那么2cos的值为___（答：725）；②三角函数名互化(切割化弦)，如求值sin50(13tan10)（答：1）；③公式变形使用（tantantan1tantan。如已知A、B为锐角，且满足tantantantan1ABAB，则cos()AB＝__（答：22）；④三角函数次数的降升(降幂公式：21cos2cos2，21cos2sin2与升幂公式：21cos22cos，21cos22sin)。如(1)若32(,)，化简111122222cos为_____（答：sin2）；（2）函数2553f(x)sinxcosxcosx532(xR)的单调递增区间为___________（答：51212[k,k](kZ)）⑤常值变换主要指“1”的变换（221sincosxxtansin42等），如已知tan2，求22sinsincos3cos（答：35）.13、辅助角公式中辅助角的确定：22sincossinaxbxabx(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由tanba确定)在求最值、化简时起着重要作用。如若方程sin3cosxxc有实数解，则c的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（宁夏）(7)02010cos270sin3(C)(A)21(B)22(C)2(D)23（宁夏）（文科）11、函数()cos22sinfxxx的最小值和最大值分别为（C）A.－3，1B.－2，2C.－3，32D.－2，32（宁夏）17、（本小题满分12分）如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，BD交AC于E，AB=2。（1）求cos∠CBE的值；（2）求AE。17．解：（Ⅰ）因为9060150BCD∠，CBACCD，所以15CBE∠．所以62coscos(4530)4CBE∠．····················································6分（Ⅱ）在ABE△中，2AB，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE．EDCBA故2sin30cos15AE12262462．······················································12分（安徽）（文科）（5）．在三角形ABC中，5,3,7ABACBC,则BAC的大小为（A）A．23B．56C．34D．3（文、理）（17）．（本小题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344fxxxx（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()fx在区间[,]122上的值域17解：（1）()cos(2)2sin()sin()344fxxxx13cos2sin2(sincos)(sincos)22xxxxxx2213cos2sin2sincos22xxxx13cos2sin2cos222xxxsin(2)6x2T2周期由2(),()6223kxkkZxkZ得函数图象的对称轴方程为()3xkkZ（2）5[,],2[,]122636xx因为()sin(2)6fxx在区间[,]123上单调递增，在区间[,]32上单调递减，所以当3x时，()fx去最大值1又31()()12222ff，当12x时，()fx取最小值32所以函数()fx在区间[,]122上的值域为3[,1]2（北京）（文科）4．已知ABC△中，2a，3b，60B，那么角A等于（C）A．135B．90C．45D．30（北京）9．若角的终边经过点(12)P，，则tan2的值为．43（北京）（文、理科）15．（本小题共13分）已知函数2π()sin3sinsin2fxxxx（0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数()fx在区间2π03，上的取值范围．15．（共13分）解：（Ⅰ）1cos23()sin222xfxx311sin2cos2222xxπ1sin262x．因为函数()fx的最小正周期为π，且0，所以2ππ2，解得1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin262fxx．因为2π03x≤≤，所以ππ7π2666x≤≤，所以1πsin2126x≤≤，因此π130sin2622x≤≤，即()fx的取值范围为302，．（福建）(10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角B的值为（A）A.6B.3C.6或56D.3或23（福建）（17）（本小题满分12分）已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,1)，m·n＝1，且A为锐角.（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数()cos24cossin()fxxAxxR的值域.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分.解：（Ⅰ）由题意得3sincos1,mnAA12sin()1,sin().662AA由A为锐角得,.663AA（Ⅱ）由（Ⅰ）知1cos,2A所以2213()cos22sin12sin2sin2(sin).22fxxxxsx因为x∈R，所以sin1,1x，因此，当1sin2x时，f(x)有最大值32.当sinx=-1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是33,2.（广东）（理科）12．已知函数()(sincos)sinfxxxx，xR，则()fx的最小正周期是．【解析】21cos21()sinsincossin222xfxxxxx,此时可得函数的最小正周期22T。（文科）5.已知函数2()(1cos2)sin,fxxxxR，则()fx是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为2的偶函数【解析】222211cos4()(1cos2)sin2cossinsin224xfxxxxxx,选D.（广东）（文、理）16．（本小题满分13分）已知函数()sin()(00π)fxAxA，，xR的最大值是1，其图像经过点π132M，．（1）求()fx的解析式；（2）已知π02，，，且3()5f，12()13f，求()f的值．【解析】（1）依题意有1A，则()sin()fxx，将点1(,)32M代入得1sin()32，而0，536，2，故()sin()cos2fxxx；（2）依题意有312cos,cos513，而,(0,)2，2234125sin1(),sin1()551313，3124556()cos()coscossinsin51351365f。（广东）12．在△ABC中，三个角A，B，C的对边边长分别为a=3,b=4,c=6,则bccosA+cacosB+abcosC的值为.612（广东）16.（本小题满分12分）已知函数f(t)=117,()cos(sin)sin(cos),(,).112tgxxfxxfxxt（Ⅰ）将函数g(x)化简成Asin(ωx+φ)+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π]）的形式；（Ⅱ）求函数g(x)的值域.16.本小题主要考查函数的定义域、值域和三角函数的性质等基本知识，考查三角恒等变换、代数式的化简变形和运算能力.（满分12分）解：（Ⅰ）1sin1cos()cossin1sin1cosxxgxxxxx2222(1sin)(1cos)cossincossinxxxxxx1sin1coscossin.cossinxxxxxx17,,coscos,sinsin,12xxxxx1sin1cos()cossincossinxxgxxxxxsincos2xx＝2sin2.4x（Ⅱ）由1712x＜，得55.443x＜sint在53,42上为减函数，在35,23上为增函数，又5535sinsin,sinsin()sin34244x＜＜（当17,2x），即21sin()222sin()23424xx＜，＜，故g(x)的值域为22,3.（广东）（文科）12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知3,3,30,abc则A＝.30°（或6）16.（本小题满12分）已知函数2()sincoscos2.222xxxfx（Ⅰ）将函数()fx化简成sin()(0,0,[0,2))AxBA的形式，并指出()fx的周期；（Ⅱ）求函数17()[,]12fx在上的最大值和最小值16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、周期性、单调性和最值等基本知识和运算能力.（满分12分）解：(Ⅰ)f(x)=21sinx+23)4sin(2223)cos(sin2122cos1xxxx.故f(x)的周期为2kπ｛k∈Z且k≠0｝.(Ⅱ)由π≤x≤1217π，得35445x.因为f(x)＝23)4sin(22x在[45,]上是减函数，在[1217,45]上是增函数.故当x=45时，f(x)有最小值－223；而f(π)=－2，f(1217π)＝－466＜－2，所以当x=π时，f(x)有最大值－2.（湖南