正弦、余弦和正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．一、两角和与差的三角函数公式sin(α±β)＝；cos(α±β)＝；tan(α±β)＝.cosαcosβ∓sinαsinβsinαcosβ±cosαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ[理要点]其公式变形为：tanα＋tanβ＝；tanα－tanβ＝；tanαtanβ＝.tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)1－tanα＋tanβtanα＋β二、二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.其公式变形为：sin2α＝；cos2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α1－cos2α21＋cos2α2[究疑点]1．两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？提示：在T(α＋β)中，α、β、α±β都不等于kπ＋π2(k∈Z)，即保证tanα、tanβ、tan(α＋β)都有意义；若α、β中有一角是kπ＋π2(k∈Z)，可利用诱导公式化简．2．你能用tanα来表示sin2α，cos2α吗？提示：sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1；cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α.[题组自测]1．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．解析：本题考查了三角函数化简求值．cos2αsinα－π4＝cos2α－sin2α22sinα－cosα＝－2(sinα＋cosα)＝－22，∴sinα＋cosα＝12.答案：12解析：tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝25，∴5tanα＋5＝2－2tanα，∴7tanα＝－3，∴tanα＝－37.2．若tan(α＋π4)＝25，则tanα＝________.答案：－373．在△ABC中，sinA＝35，cosB＝513，求cosC.解：由cosB＝513得0Bπ2，sinB＝1213.而sinA＝351213＝sinB.sinAsinB⇔2RsinA2RsinB⇔ab⇔AB.∴A为锐角，∴cosA＝45，∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosA·cosB＋sinA·sinB＝1665.4．已知tanα＝－13，cosβ＝55，α、β∈(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)＝2sin(x－α)＋cos(x＋β)的最大值．解：(1)由cosβ＝55，β∈(0，π)，得sinβ＝255，tanβ＝2，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝1.(2)因为tanα＝－13，α∈(0，π)，所以sinα＝110，cosα＝－310，f(x)＝－355sinx－55cosx＋55cosx－255sinx＝－5sinx，所以f(x)的最大值为5.本题条件不变，求α＋β的值．解：由4(1)可知tan(α＋β)＝1，∵cosβ＝550，β∈(0，π)∴β∈(0，π2)又tanα＝－130，α∈(0，π)∴α∈(π2，π)∴π2α＋β3π2∴α＋β＝5π4.[归纳领悟]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.[题组自测]1．(2010·福建高考)计算1－2sin222.5°的结果等于()A.12B.22C.33D.32解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝22.答案：B2．函数f(x)＝3sinx＋sin(π2＋x)在x∈R上的最小值等于()A．－2B．0C．2D．－1解析：由于f(x)＝3sinx＋sin(π2＋x)＝3sinx＋cosx＝2sin(x＋π6)，故其最小值为－2.答案：A3．设a＝22(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°·cos38°，c＝1－tan240°30′1＋tan240°30′，d＝12(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为()A．a＞b＞d＞cB．b＞a＞d＞cC．d＞a＞b＞cD．c＞a＞d＞b解析：a＝sin(56°－45°)＝sin11°，b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°，c＝1－tan240°30′1＋tan240°30′＝cos81°＝sin9°，d＝12(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°，∴b＞a＞d＞c.答案：B4．(1)化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x；(2)求值：sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°·1－cos20°.解：(1)原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.(2)∵sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝1，cos80°·1－cos20°＝sin10°·2sin210°＝2sin210°，∴sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.[归纳领悟](1)运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．(2)应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.[题组自测]1．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1解析：tan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.答案：D2．已知sinα＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于()A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：∵α、β均为锐角，∴－π2α－βπ2，∵cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010，sinα＝55，∴cosα＝1－552＝255，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝22.∵0βπ2，∴β＝π4.答案：C3．若α∈(0，π2)，cos(α＋π3)＝－1114，则cosα＝________.解析：∵α∈(0，π2)，cos(α＋π3)＝－1114，∴sin(α＋π3)＝5314，∴cosα＝cos(α＋π3－π3)＝cos(α＋π3)cosπ3＋sin(α＋π3)sinπ3＝17.答案：174．已知：0απ2βπ，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)求cos(α＋π4)的值．解：(1)法一：∵cos(β－π4)＝cosπ4cosβ＋sinπ4sinβ＝22cosβ＋22sinβ＝13，∴cosβ＋sinβ＝23，∴1＋sin2β＝29，∴sin2β＝－79.法二：sin2β＝cos(π2－2β)＝2cos2(β－π4)－1＝－79.(2)∵0απ2βπ，∴π4β－π434π，π2α＋β3π2，∴sin(β－π4)0，cos(α＋β)0.∵cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴cos(α＋π4)＝cos[(α＋β)－(β－π4)]＝cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)＝－35×13＋45×223＝82－315.已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．解：(1)tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sinαcosα＝43.又因为sin2α＋cos2α＝1,0＜α＜π2，解得sinα＝45.(2)因为0＜α＜π2＜β＜π，所以0＜β－α＜π.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.[归纳领悟]1．当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3．常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－(π4－α)．注意：特殊的角也看成已知角，如α＝π4－(π4－α)．一、把脉考情从近两年的高考试题来看，和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度中低档，属于送分题，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．预测2012年高考仍将以和差角公式及二倍角公式为主要考点，重点考查这两类公式在三角函数式求值与化简中的计算能力．二、考题诊断1．(2010·新课标全国卷)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝()A．－7210B.7210C．－210D.210解析：由题知，cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－7210.答案：A2．(2010·全国卷Ⅰ)已知α为第二象限的角，sinα＝35，则tan2α＝________.解析：由sinα＝35，且α为第二象限的角得cosα＝－45，得tanα＝－34，tan2α＝－247.答案：－2473．(2010·四川高考)(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)∶cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)∶sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)已知△ABC的面积S＝12，AB·AC＝3，且cosB＝35，求cosC.解：(1)①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4，则P1(1,0)，P2(cosα，sinα)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2，展开并整理，得2－2cos