多元复合函数与隐函数求导法则

目录上页下页返回结束1第三节本节内容:一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分第八章三、隐函数求导法则目录上页下页返回结束2一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数),(vufz处偏导连续,在点t可导,tvvztuuztzddddddz则复合函数证:设t取增量△t,vvzuuzz)(o则相应中间变量且有链式法则vutt有增量△u,△v,目录上页下页返回结束3,0,0vu则有(全导数公式)tvvztuuztzto)(zvutt))()((22vu)(o(△t＜0时,根式前加“–”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd目录上页下页返回结束4若定理中说明:例如:),(vufztvtu,易知:但复合函数),(ttfz21ddtztvvztuuzdddd01010偏导数连续减弱为偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立.目录上页下页返回结束5推广:1)中间变量多于两个的情形.,),,(wvufz设下面所涉及的函数都可微.tzdd321fff2)中间变量是多元函数的情形.),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(,)(,)(twtvtu例如,例如,yx目录上页下页返回结束6又如,),(,),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时,有xz121ffyz22ffzxyx注意:这里xzxfxz表示f(x,(x,y))固定y对x求导xf表示f(x,v)固定v对x求导口诀:xf与不同,v分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导目录上页下页返回结束7例1.设,,,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解:xzvusineyzvusinexvvzvucoseyvvzvucose11zvuyxyx目录上页下页返回结束8解例2.求函数的偏导数.(2)xyzxy2,,uxyvxy令则vzuzzuzvxuxvx11lnvvvuuuy1(2)[(2)ln(2)]xyyxyxxyxyzzuzvyuyvy12lnvvvuuux1(2)[2(2)ln(2)]xyxxyyxyxy目录上页下页返回结束9例3.,sin,e),,(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yxcos2目录上页下页返回结束10例4.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtz求全导数,etu,costv解:tcos注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.目录上页下页返回结束15二、多元复合函数的全微分设函数的全微分为yyzxxzzdddyyvvzyuuzd)(可见无论u,v是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvd都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.目录上页下页返回结束16例6.利用全微分形式不变性再解例1.解:)(ddz)]cos()sin([eyxyxyyx所以vusinevvudcose)(dyx)(dyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy目录上页下页返回结束171、一个方程所确定的隐函数及其导数2、方程组所确定的隐函数组及其导数三、隐函数的求导方法目录上页下页返回结束181、一个方程所确定的隐函数及其导数定理1.设函数;0),(00yxF则方程单值连续函数y=f(x),并有连续yxFFxydd(隐函数求导公式)定理证明从略，仅就求导公式推导如下：①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足0),(00yxFy②③满足条件导数目录上页下页返回结束19两边对x求导yxFFxydd0yF在的某邻域内则目录上页下页返回结束20例7.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数0ddxxy解:令,1esin),(yxyyxFx;0)0,0(F,eyFxx连续;由定理1可知,1)0,0(yF,0①导的隐函数则xyFycos②③在x=0的某邻域内方程存在单值可且并求目录上页下页返回结束210ddxxy0xFFyxxycosyxe0,0yx目录上页下页返回结束22定理2.若函数),,(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),定理证明从略,仅就求导公式推导如下:满足;0),,(000zyxF,0),,(000zyxFz①在点满足:②③某一邻域内可唯一确目录上页下页返回结束230)),(,,(yxfyxF两边对x求偏导xFzxFFxzzyFFyz同样可得zFxz0目录上页下页返回结束24解：利用公式设zzyxzyxF4),,(222则yFxFyx2,2zxFFxz422zxzx242zFz例8.所确定的是由方程设04),(222zzyxyxzzyzxz,隐函数，求zyFFyz422zyzy2目录上页下页返回结束252、方程组所确定的隐函数组及其导数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由F、G的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G的雅可比行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即雅可比目录上页下页返回结束27定理3.,0),,,(0000vuyxF的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组0),,,(,0),,,(vuyxGvuyxF③),(00yx在点的单值连续函数),,(,),(yxvvyxuu且有偏导数公式:①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:,0),(),(PvuGFPJ;0),,,(0000vuyxG导数；,),(000yxuu),(000yxvv目录上页下页返回结束28(P86)vuvuGGFFvuGFJ),(),(),(),(1vxGFJxu),(),(1vyGFJyu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyvvvvuvuGFGGFF1vvvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1uuvuvuGFGGFF1xxGFyyGFxxGFyyGF目录上页下页返回结束29,,的线性方程组这是关于xvxu0),,,(0),,,(vuyxGvuyxF有隐函数组则两边对x求导得设方程组,0vuvuGGFFJ在点P的某邻域内xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0解的公式故得系数行列式xuvuvuGGFFvxvxGGFF目录上页下页返回结束30xuxvxuxvxFuFvF0xGuGvG0同样可得),(),(1vyGFJyu),(),(1vxGFJxu),(),(1xuGFJxv),(),(1yuGFJyv目录上页下页返回结束31例9.设,1,0vxuyvyux.,,,yvxvyuxu解:xyyxJJxu122yxvxuyyu方程组两边对x求导，并移项得求vxvxxuyxvyu22yxvyuxJxv122yxuyvx练习:求yvyu,uxvyxux022yx22yxvyuxyv答案:由题设故有目录上页下页返回结束32内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,uvyxyx;122.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d目录上页下页返回结束333.隐函数(组)存在定理4.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式.目录上页下页返回结束第三次作业22)1(15)4(11)1(10)1(7:100~99P目录上页下页返回结束