多元复合函数微分法

§8-4.多元复合函数微分法多元函数经复合运算后，一般仍是多元函数，也可能成为一元函数。按前面关于多元函数的讨论方法，复合函数求导法则的研究可从复合后成为一元函数的情况开始。这就是全导数问题。一、全导数例设,22yxz,sintax,costby求。tzdd解22yxz22)cos()sin(tbtatba2sin41222故22cos2sin241dd22ttbatztba4sin2122解tyyztxxztzdddddd)sin(2cos222tbyxtaxytba4sin2122(将x,y的表达式带入)zxyt+你能由此猜想到多元函数的复合函数求导法则吗？,)(,)(,),(tyytxxyxfzzxyttyyztxxztzdddddd,)(,)(,),(221121txxtxxxxfztxxztxxztzdddddd221121ddiiitxxz由此可推至一般的情况2定理1(全导数)设函数,),,(1mvvfu)(xvii),,1(mi可复合成。))(,,)((1xxfum若)(xi在点x处可微，函数,),,(1mvvf在相应于x的点),,(1mvv处可微，则复合函数))(,,)((1xxfum在点x处可偏导，且miiixvvuxu1ddddux1vmv2viv+证给x以增量x，相应地有)()(xxxviii),,1(mi由),,(1mvvfu的可微性，有||)o(||1vvvuumiii),,(1mvvv从而xvxvvuxumiii||)o(||1由一元函数导数导定义,取0x的极限xuxuddxvxviidd？xv||)o(||0||)o(||xv下面证明由)(xvii可导，故必连续,从而0x时，,0iv即有,0||||v于是xvvvxvxx||||||||)||||o(lim)||||o(lim00mixvxivvv1200||||lim||||||)o(||lim0定理获证例设xxzsin求。xzdd解令,yxz,sinxy则xyyzxzxzdddd1yyxxxxxxxlncossinsinxxxycosln)(,)(,),,(xzzxyyzyxfu则xzzuxyyuxuxudddddduxyzxzxxy写出二元和三元函数的全导数公式)(,)(,),(tyytxxyxfz)(,)(,)(,),,(tzztyytxxzyxfu请同学自己写tyyztxxztzddddddtzzutyyutxxutudddddddd开始对答案二、链导法则一般多元复合函数的求导法则假设所有出现的函数求导运算均成立，试想一下如何求下面的导数：,),(,),(,),(,),,(yxwwyxvvyxuuwvufzzuvwxy求,xz。yz将y看成常数将x看成常数xzxuuzxvvzxwwzyzyuuzyvvzywwz是按全导数公式求导，而对具体函数来说，实质上又是求偏导数。定理2设),,(1niixxv),,2,1(mi在点),,(1nxx处均可导，且),,(1mvvfu在对应点),,(1mvv可微，则复合函数)),,(,),,,((111nmnxxxxfu在点),,(1nxx处可导，且jxu),,2,1(njmijiixvvu1m个n元函数一个m元函数复合成一个n元函数定理可视为全导数定理的推广:将诸xk(kj)看成常数，运用全导数公式，求导记号作相应改变即可证明该定理。设,),,(yxufz),(yxuu满足定理的条件，则有),,),((yxyxufzxzxzxuuzxfxuufxzyzyzyuuzyfyuufyzzuxyxy例设,sinvezu,22yxu,yxv求,xz。yz解xzxuuz22sinxyveu1cosveu))cos()sin(2(222yxyxxyeyxxvvzyzyuuzyvvzyxveu22sin)1(cosveu))cos()sin(2(222yxyxyxeyxzuvxy例设xytteyxF0d),(3)0,0(yx求,xF。yF解令,xyu则utteuF0d)(3uFxyxuuFxFddxyyeu23xyexy3)(21yuuFyFddxyxeu23yxexy3)(21例设,),(22xyeyxfz求。xzzxy12解xyxfxz)(221212fyefxxyxefxy)(2yz自己做例例设,)cos,(22xyyxfz,cosrx,sinry其中,1Cf求。rz解令,22yxu,cosxyv则,),(vufzzuvyxr请你自己在下面写出导数关系式rzryyuuzrxxuuzryyvvzrxxvvzx2cosy2uzyxrz)sincos(2vzxyxysin)sincos(答案：你做对了吗？课后自己计算z例设函数,),,(vuxfz,),,(uyxv),(yxgu均可微，求,xz。yz解zxuvxyxyuxyxfxzxuuxufvfxuxvxvufxfxzxgvfxguxyzufygvfyguygg三、全微分形式不变性一元函数的微分有一个重要性质：一阶微分形式不变性对函数)(ufy不论u是自变量还是中间变量,在可微的条件下,均有d)(duufy记得吗?对二元函数),(yxfz来说，论x和y是自变量还是中间变量，可微的条件下,f的全微分总可写为：zdxxzdyyzd不不在论x和y是自变量还是中间变量，详细的推导过程请同学自己看书。呀！看书。呀！看书。呀！看书。设,),,(1nxxfu不论ix是自变量还是中间变量，在可微的条件下，均有iniixxuudd1设,sinvezu,xyu,yxv应用全微分形式不变性求，xz。yz解vvzuuzzddd)dd(sinyxxyveuxyxyxyexyd)]cos()sin([yyxyxxexyd)]cos()sin([)d(dcosyxveu)]cos()sin([yxyxyexzxy)]cos()sin([yxyxxeyzxy与yyzxxzzddd比较，得例§8-5隐函数的微分法与一元函数的情形类似，多元函也有隐函数。如果在方程式0),,(zyxF中，2),(Ryx时，相应地总有满足该方程的唯一的z值存在,则称该方程在内确定隐函数。),(yxfz每一个方程都能确定一个隐函数吗？0122yx此外，隐函数不一定都能显化。如果在方程式0),(uXF中，nRX时，相应地总有满足该在内确定隐函数。)(Xfu方程的唯一的u值存在,则称该方程),,(1nxxX将概念推广到一般情形一元函数的隐函数的求导法一、设0),(yxF确定隐函数。)(xfy若,),(1CyxF则对方程两边关于x求导，得0),(yxF0ddxyyFxF从而得到一元隐函数求导公式)0(ddyFyFxFxy这是利用多元函数的偏导数求一元函数的隐函数导数的公式设,022yxxy求。xydd解令,22),(yxxyyxF则xF2ln2xyyF2ln2yx故xyddyFxF2ln22ln2yxxy)02ln2(yx例二、由一个方程确定的隐函数的求导法定理2(隐函数存在定理)设1.2.3.;)),,(U(),,(0001zyxCzyxF;0),,(000zyxF,0),,(000zyxFz则方程0),,(zyxF在)),U((00yx内唯一确定一个函数)),(U(),(001yxCyxfz且,),(000yxfz。0)),(,,(yxfyxF由隐函数存在定理的条件及一元隐函数求导方法,利用多元函数求导方法，对方程F(x,y,u)=0两边关于x,y求偏导，得0xzzFxF由于,)),,(U(),,(0001zyxCzyxF又0yzzFyF,0),,(000zyxFz由连续函数性质,)),U((00yx在其中,0),,(zyxFzzFxFxzzFyFyz自己算一下，z对x,y的偏导数是多少。求方程xyez20ze所确定的函数),(yxzz的偏导数。解令),,(zyxFxye,ze则xF,xyyez2yF,xyxezF,2ze故zFxFxzzxyeye22zxyeye)02(zezFyFyzzxyexe22zxyexe)02(ze例设0),(xyzzyxF确定),,(yxzz求,xz,yz其中，。1CF解xF,21FyzFyF,21FxzFzF,21FxyFxz21FyzF21FxyFyz21FxzF21FxyF例定理(隐函数存在定理)设1.2.3.；)),(U(),(001uXCuXF；0)(0XF,0),(00uXFu则方程0),(uXF在))U((0X内唯一确定一个函数))U(()(01XCXfu且,)(00Xfu。0))(,(XfXF请同学们自己将上面的隐函数存在定理推广至一般的n元函数情形),,2,1(niuFxFxuii三、由方程组确定的隐函数的求导法雅可比行列式,)(),,,(121CxxxFunii),,2,1(ni),,,(),,,(2121nnxxxuuuJ),,,(),,,(2121nnxxxFFF11xF21xFnxF112xF22xFnxF21xFnnnxF2xFn当所出现的函数均有一阶连续偏导数时，雅可比行列式有以下两个常用的性质：1..1),,,(),,,(),,,(),,,(21212121nnnnuuuxxxxxxuuu2..),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(212121212121nnnnnntttxxxxxxuuutttuuu设方程组0),,(0),,(zyxGzyxF确定函数,)(xzz求,ddxy。xzdd,,1CGF想一想，怎么做？,)(xyy问题1方程组中每个方程两边关于x求导：xFxyyFdd0ddxzzFxGxyyGdd0ddxzzG运用克莱满法则解此二元一次方程组移项，得xyyFddxzz