多元复合函数的求导法则

科学出版社第四节一、多元复合函数求导的链式法则二、多元复合函数的全微分多元复合函数的求导法则第八章科学出版社一元复合函数求导法则微分法则科学出版社定理1.),(vufz在对应点（u,v）可微,在点t可导,ddddddzfufvtutvtz则复合函数证:ffzuvuv)(o则相应中间变量且有链法则（见右边的树图）vutt有增量△u,△v,由于f可微，所以上式两端同时除以△t，得到一、多元复合函数求导的链式法则若函数设△t为t的增量,科学出版社,0,0vu则有导数，zfufvtutvtto)(zvutt))()((22vu)(o(△t＜0时,根式前加“–”号)tvtvtutudd,ddddddddzfufvtutvtddddddzzuzvtutvt为了与偏导数区别,称为全全导数还可以写成:科学出版社若定理中注:如:),(vufztvtu,易知:但不可微（验证），此时复合函数),(ttfz21ddtztvvztuuzdddd01010可微减弱为偏导数存在,2t0,22222vuvuvu,0022vu则定理结论不一定成立.科学出版社推广:1)中间变量多于两个的情形.,),,(wvufz设下面所涉及的函数都可微.tzddzvuyxtuuzddtvvzddtwwzdd)(,)(,)(twtvtu例如,yx定理2.设(,)zfuv在对应点可微xzyzxuuzxvvzyuuzyvvz(,)vxy(,)uxy，则zwvuttt偏导数都存在，科学出版社例1.设243zxyxy，其中e,sintxyt，求d.dzt解:ddddzzxtxt4(23)etxyy4(2esin3sin)etttt23(12)cosxxyt23(e12esin)costttt代入解法二，所以ddzt24esin3esinttztt，先代入，变成一元函数的求导.因为43esin12esincosttttt222esinecosttttddzyyt解法一，科学出版社例2.,,,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解xzvusineyzvusinexvvzvucoseyvvzvucose11zvuyxyx设科学出版社例3.22()xyzxy的偏导数.解:有了多元函数的链法则，就不需要用对数求导法了.22()xyzxy由vzu，22uxy和vxy复合而成，于是12vvuxzzuzvxuxvxlnvuuy222222()ln()xyxyxyyxy同理可得12lnvvzvuyuuxy22222222()ln()xyxyxxyxy22xy求这是一个幂指函数，科学出版社例4.设,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtz求全导数,etu,costv解:tcos注意：验证解的问题中经常遇到,下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.求导口诀:分段用乘,分叉用加.多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与科学出版社,zfxy，(,)xst，()yt求复合函数((,),())zfstt的偏导数.例5.都具备可微条件，zxytst解:,zzxsxszzxtxt注：ddzyyt有时会出现复合函数的某些中间变量本身又是复合函数的自变量的情况，这时要注意防止记号的混淆.如左图，有在应用链法则时，设科学出版社如,(,),(,)zfxyyxt当它们都具有可微条件时,有zxztfzxxt注意:这里xzxfxz表示复合函数f(x,(x,t))固定t对x求导xf表示f(x,y)固定y对x求导fx与不同,y科学出版社例6.设(,,),(,),(,),ufxyzyxttxz都有一阶求连续偏导数，.uuxz和解:(,(,(,)),)ufxxxzzuxyztxzxufxxfyxfytxufzzfytz代入中间变量，得到复合函数科学出版社为简便起见,引入记号2112,,ffffuuv例7.f具有二阶连续偏导数,求.,2zxwxw解:令,,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw2fyz2(,)yzfxyzxyz则zxw221112222()fyxzfxyzfyf12fxy22fxy12,,ff设科学出版社二、一阶全微分形式不变性设函数的全微分为yyzxxzzdddyyvvzyuuzd)(可见无论u,v是自变量还是中间变量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数)(fz),(,),(yxyxudvd都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做一阶全微分形式不变性.科学出版社利用这个性质，容易证明，无论u,v是自变量还是中间变量，d()dduvuvd()dduvvuuv2ddduvuuvvv用链法则求复合函数偏导数时，和中间变量.有了一阶全微分形式不变性，考虑这种区别，使计算变得方便。可以不再首先要分清自变量都有下面的微分法则：科学出版社例8.的全微分和偏导数.解:22()uxyvxy求22()xyzxy则vzu2222()ln()xyxyxy所以(2d2d)xxyy(dd)yxxy22ln()yxy设科学出版社例9.都可微,求dz.解:.设(,,),(,),(,)ufxyzyxttxzddfxtyxtddxzxzdffzytzz利用一阶全微分形式不变性，有科学出版社例10.已知求解:两边求微分,得又因为所以由条件