2018高考数学新课标2理科真题

WORD完美资料编辑专业整理分享1.(2018年新课标Ⅱ理)1＋2i1－2i＝()A.－45－35iB.－45＋35iC.－35－45iD.－35＋45iD【解析】1＋2i1－2i＝(1＋2i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝－35＋45i.2.(2018年新课标Ⅱ理)已知集合A＝{(x,y)|x2＋y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4A【解析】当x＝－1时,y2≤2,得y＝－1,0,1；当x＝0时,y2≤3,得y＝－1,0,1；当x＝1时,y2≤2,得y＝－1,0,1.所以集合A中元素有9个.3.(2018年新课标Ⅱ理)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()ABCDB【解析】f(－x)＝e－x－ex(－x)2＝－ex－e－xx2＝－f(x),则f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A；当x＝1时,f(1)＝e－1e＞0,排除D；当x→＋∞时,f(x)→＋∞,排除C.故选B.4.(2018年新课标Ⅱ理)已知向量a,b满足|a|＝1,a·b＝－1,则a·(2a－b)＝()WORD完美资料编辑专业整理分享A.4B.3C.2D.0B【解析】由题意,a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.5.(2018年新课标Ⅱ理)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为()A.y＝±2xB.y＝±3xC.y＝±22xD.y＝±32xA【解析】依题意,e＝ca＝3,则ba＝b2a2＝c2－a2a2＝ca2－1＝2,所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±2x.故选A.6.(2018年新课标Ⅱ理)在△ABC中,cosc2＝55,BC＝1,AC＝5,则AB＝()A.42B.30C.29D.25A【解析】cosC＝2×552－1＝－35,由余弦定理,得AB＝BC2＋AC2－2BC·AC·cosC＝1＋25＋2×1×5×35＝42.7.(2018年新课标Ⅱ理)为计算S＝1－12＋13－14＋…＋199－1100,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()A.i＝i＋1?B.i＝i＋2?C.i＝i＋3?D.i＝i＋4?WORD完美资料编辑专业整理分享B【解析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的是S＝N－T＝1－12＋13－14＋…＋199－1100,则在空白处应填入“i＝i＋2?”.8.(2018年新课标Ⅱ理)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30＝7＋23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.112B.114C.115D.118C【解析】在不超过30的素数中有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有C210＝45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17)共3种,则对应的概率p＝345＝115.9.(2018年新课标Ⅱ理)在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.15B.56C.55D.22C【解析】以D为原点,DA为x轴DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系如图所示.∵在长方体ABCD­A1B1C1D1中,AB＝BC＝1,AA1＝3,∴A(1,0,0),D1(0,0,3),D(0,0,0),B1(1,1,3),AD1→＝(－1,0,3),DB1→＝(1,1,3).设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cosθ＝AD1→·DB1→|AD1→||DB1→|＝225＝55.故选C.10.(2018年新课标Ⅱ理)若f(x)＝cosx－sinx在[0,a]是减函数,则a的最大值是()WORD完美资料编辑专业整理分享A.π4B.π2C.3π4D.πC【解析】f(x)＝cosx－sinx＝－(sinx－cosx)＝－2sinx－π4.由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z),得－π4＋2kπ≤x≤3π4＋2kπ(k∈Z).取k＝0,得f(x)的一个减区间为－π4，3π4.由f(x)在[0,a]是减函数,得a≤[0,a]是减函数,所以a的最大值是3π4.11.(2018年新课标Ⅱ理)已知f(x)是定义域为(－∞,＋∞)的奇函数,满足f(1－x)＝f(1＋x),若f(1)＝2,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A.－50B.0C.2D.50C【解析】∵f(x)是奇函数,且f(1－x)＝f(1＋x),∴f(1－x)＝f(1＋x)＝－f(x－1),f(0)＝0,则f(x＋2)＝－f(x),则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x),即f(x)是周期为4的周期函数.∵f(1)＝2,∴f(2)＝f(0)＝0,f(3)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2,f(4)＝f(0)＝0,则f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0,∴则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.12.(2018年新课标Ⅱ理)已知F1,F2是椭圆C:x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P＝120°,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14D【解析】由题意知A(－a,0),F1(－c,0),F2(c,0),直线AP的方程为y＝36(x＋a).由∠F1F2P＝120°,|PF2|＝|F1F2|＝2c,则P(2c,3c),代入AP的方程,整理得a＝4c,∴C的离心率e＝ca＝14.WORD完美资料编辑专业整理分享13.(2018年新课标Ⅱ理)曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为________.y＝2x－2【解析】∵y＝2lnx,∴y′＝2x.当x＝1时,y′＝2,∴曲线y＝2lnx在点(1,0)处的切线方程为y－0＝2(x－1),即y＝2x－2.14.(2018年新课标Ⅱ理)若x,y满足约束条件x＋2y－5≥0，x－2y＋3≥0，x－5≤0，则z＝x＋y的最大值为________.9【解析】作出可行域如图.z＝x＋y可化为y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z过A(5,4)时,z取得最大值,最大值为z＝5＋4＝9.15.(2018年新课标Ⅱ理)已知sinα＋cosβ＝1,cosα＋sinβ＝0,则sin(α＋β)＝________.－12【解析】由sinα＋cosβ＝1,两边平方,得sin2α＋cos2β＋2sinαcosβ＝1,①由cosα＋WORD完美资料编辑专业整理分享sinβ＝0,两边平方,得cos2α＋sin2β＋2cosαsinβ＝0,②①＋②,得2＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝1,即2＋2sin(α＋β)＝1,解得sin(α＋β)＝－12.16.(2018年新课标Ⅱ理)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为515,则该圆锥的侧面积为________.402【解析】由题意可得sin∠AMB＝1－782＝158.S△SAB＝12|SA|2sin∠AMB＝515,即12|SA|2·158＝515,解得SA＝45.SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为22×45＝210,则该圆锥的侧面积＝12×410×45π＝402π.17.(2018年新课标Ⅱ理)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1＝－7,S3＝－15.（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn,并求Sn的最小值.【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d.S3＝3a1＋3d＝3×(－7)＋3d＝－15,解得d＝2.∴an＝a1＋(n－1)d＝－7＋2(n－1)＝2n－9.（2）Sn＝n(a1＋an)2＝n(－7＋2n－9)2＝n2－8n.∵Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16,∴当n＝4时,Sn有最小值为－16.18.(2018年新课标Ⅱ理)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.WORD完美资料编辑专业整理分享为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y^＝－30.4＋13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y^＝99＋17.5t.（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.【解析】（1）对于模型①,当t＝19时,y^＝－30.4＋13.5×19＝226.1,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元.对于模型②,当t＝9时,y^＝99＋17.5×9＝256.5,即该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元.（2）模型②得到的预测值更可靠.∵从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,∴利用模型②的预测值更可靠些.19.(2018年新课标Ⅱ理)设抛物线C:y2＝4x的焦点为F,过F且斜率为k(k＞0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|＝8.（1）求l的方程；（2）求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【解析】（1）抛物线C的焦点为F(1,0).WORD完美资料编辑专业整理分享当直线的斜率不存在时,|AB|＝4,不合题意.设直线AB的方程为y＝k(x－1),A(x1,y1),B(x2,y2).联立y＝k(x－1)，y2＝4x，消去y,得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0,∴x1＋x2＝2(k2＋2)k2,x1x2＝1.由|AB|＝x1＋x2＋p＝2(k2＋2)k2＋2＝8,解得k＝1.∴直线l的方程y＝x－1.（2）由（1）得AB的中点坐标为D(3,2),则直线AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3),即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则y0＝－x0＋5，(x0＋1)2＝(y0－x0＋1)22＋16，解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.20.(2018年新课标Ⅱ理)如图,在三棱锥P­ABC中,AB＝BC＝22,PA＝PB＝PC＝AC＝4,O为AC的中点.（1）求证:PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上,且二面角M­PA­C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.WORD完美资料编辑专业整理分享【解析】（1）证明:∵AB＝BC＝22,AC＝4,∴AB2＋BC2＝AC2,即△ABC是直角三角形.又O为AC的中点,∴OA＝OB＝OC.∵PA＝PB＝PC,∴△POA≌△POB≌△POC.∴∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°.∴PO⊥AC,PO⊥OB,OB∩AC＝0,∴PO⊥平面ABC.（2）以O坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示.易知A(0,－2,0),P(0,0,23),C(0,2,0),B(2,0,0),BC→＝(－2,2,0).设BM→＝λBC→＝(－2λ,2λ,0),0＜λ＜1,则AM→＝BM→－BA→＝(－2λ,2λ,0)－(－2,－2,0)＝(2－2λ,2λ＋2,0),则平面PAC的一个法向量为m＝(1,0,0).设平面MPA的法向量为n＝(x,y,z),则PA→＝(0,－2,23),则n·PA→＝－2y－23z＝0,n·AM→＝(2－2λ)x＋(2λ＋2)y＝0.令z＝