1.5-定积分的概念

1.5定积分的概念课本38-42页→《名师》18页→草稿纸、笔xy0直线xy0几条线段连成的折线xyo曲线1.5定积分的概念曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)求曲边梯形的面积x=ax=by=f(x)baxyOA1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4xDxDxDxD1x2x3x4x1234()()()()Afxxfxxfxxfxx籇+D+D+Dy=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近12()()()nAfxxfxxfxx籇+D+鬃?D例1.求由直线x=0,x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.n1n2nknnxOy解析:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值，再取其极限值。2xy探究思考把区间[0，1]等分成n个小区间：],nn,n1n[,],ni,n1i[,],n2,n1[],n1,0[每个区间的长度为ii-11Δx=-=nnn过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,,S,,S,Sni211n2nknnnxOy2yxi-1iffnn≈i-1ninifni-1fn如图，当n很大时，即△x很小时，在区间上可以认为函数的值变化很小.i-1i,nn2y=x把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记做.用小矩形的面积近似地替代即局部小范围内“以直代曲”.2'ii2i-1i-1ΔSΔS=fΔx=Δxnni-11=i=1,2,,n.nn≈i'ΔsiΔsiΔs则阴影部分面积ns2nni=1i=1n'nii=12222233S=ΔS=111n-11=0+++nnnnn1=1+2++n-1nn-1n2n-11=n6111=1-i-1i-11fΔx=1-3n2nnnn……n111SS=1-1-3n2n≈得到S（曲边梯形面积）的近似值：当分割的份数无限增多,即n→∞,△x→0时当n趋向于无穷大，即趋向于0时，趋向于S.从而有Δxn111S=1-1-3n2nnni=1nnnS=limS=1111=lim1-11-=3n2i-1limfnnn3→∞→∞→∞分割以直代曲作和逼近小结求由连续曲线yf(x)围成的曲边梯形面积的方法（1）分割（2）近似代替（4）取极限n（3）求和1.当n很大时，函数在区间上的值，可以用()近似代替A.B.C.D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif0f练习2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间上的近似值等于（）A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值C.可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)((1iiiixxfC1,iixx练习1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积，当曲边梯形分割的越细，蓝色部分面积就越小，就越接近曲边梯形的面积.复习：如何求曲边梯形的面积？以直代曲1[,]iinn在区间上的左端点和右端点的函数值来计算有和区别从小于曲边梯形的面积来无限逼近从大于曲边梯形的面积来无限逼近1、分割将区间等分成n个小区间2、以直代曲对于区间i-1n,1n上小曲边梯形，以fi-1n为长，x=1n为宽小矩形面积近似代小曲边梯形面积3、作和S=s1+s2++sn=sifi-1nx4、取极限n+,fi-1nxS复习利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？引入探究思考图中矩形面积和就是曲边梯形的面积，从而汽车行驶的路程在数值上就等于相应曲边梯形面积.nnSSlim结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程s和由直线t=0，t=1,v=0和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？2v(t)=-t+2如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在这段时间内行驶的路程s（单位：km）是多少？2v(t)=-t+20t1≤≤求变速直线运动的路程在时间区间[0,1]上等间隔地插入n-1个分点，将它等分成n个小区间：112n-10,,,,,,1nnnn记第i个区间为，其长度为：i-1i,i=1,2,,nnnii-11Δt=-=nnn2v=-t+2xoya...把汽车在时间段上行驶的路程分别记作：112n-10,,,,,,1nnnn12nΔS,ΔS,,ΔS显然有nii=1S=ΔS当n很大，即很小时，在区间上，函数的变化值很小，近似地等于一个常数.从物理意义上看，就是汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速行驶.i-1i,nnΔt2v(t)=-t+2i-1ni-1i,i=1,2,,nnn2'ii2i-1i-11Δs=Δs=vΔt=-+2nnni-112=-+i=1,2,,nnnn在区间上，近似地认为速度为即在局部小范围内“以匀速代变速”.i-1i,nn2i-1i-1v=-+2nn由近似代替求得：2nn'nii=1i=122233ni=122i-112-+nnn111n-11-0---i-1ss=Δs=vΔtn==1=-1+2++n-1+2n1(n-1)n(2n-1)=-+2nn+2n6111=-1-1n-+232nnnnnnnni=1n1i-1s=lims=limvnn1115=lim-1-1-+2=3n2n3∞∞∞当n趋向于无穷大，即趋向于0时，趋向于s，从而有n111s=-1-1-+23n2nΔt一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为vvt，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b内所作的位移S．结论1.5.3定积分的概念普通高中课程标准实验教材选修2-2课本45-47页→《名师》20页→草稿纸、笔从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知，它们都可以通过“四步曲”：分割、近似代替、求和、取极限得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限.曲边梯形面积变速直线运动路程niinniixfnxfS110)(1lim)(lim0111lim()lim()nniitniisvtvnxx===D=邋复习一、定积分的概念bxxxxxabaxfnii110][上连续，用分点，）在区间（一般地，如果函数，）（）（），作和式，，，（上任取一点，间个小区间，在每个小区等分成，将区间niniiiiiifnabxfnixxnba11121][][.][上的定积分，）在区间（叫做函数某个常数，这个常数时，上述和式无限接近当baxfn.lim1niinbabafnabdxxfdxxf）（）（，即）（记作概念定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnba即Oabxy)(xfySbaf(x)dx；按定积分的定义，有(1)由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为(2)设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离s为sbav(t)dt。Oab()vvttv定积分的定义：1()lim()ninibafxdxfnba即112001()3Sfxdxxdx根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213S1SD2SD2()2vtt=-+Ovt12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005()(2)3Svtdttdt根据定积分的定义左边图形的面积为正确理解定积分的概念(),,,dt();()()()bbbaaafxdxfuduft(1)定积分是一个数值极限值它的值仅仅取决于被积函数与积分的上､下限而与积分变量用什么字母表示无关即称为积分形式的不变性120320a,b,,,,.()()(1)(1)bafxdxxdxxdx(2)定积分与积分区间息息相关不同的积分区间定积分的积分限不同所得的值也就不同例如与的值就不同1lim.nbianibafxdxfn（）（）（3）.规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf二、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当ab时，有baf(x)dx0。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([，dxxfba)(．abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。Soabxyy=f１(x)ＢＡy=f２(x)ＤＣ探究根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积吗？12()()bbaaSfxdxfxdx探究课本P46三:定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk性质3不论a，b，c的相对位置如何都有aby=f(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)Ｃ130.xdx利用定积分的定义，计算的值例1:3fxx解：令