伯努利方程

伯努利方程单元测验（一）介绍伯努利方程及其应用伯努利方程的导出伯努利方程的应用2/26§2—4伯努利方程能量方程解决了流动气体能量的转换关系问题。但是方程中既含有机械能，又含有热能，且不显含损失功。在实际应用中，有时只希望讨论机械能之间的转换和求解损失功的大小问题，这时，用能量方程就不方便了。伯努利方程就是用机械能形式写出来的能量方程。下面我们就来研究伯努利方程。一、伯努利方程的推导要得到机械能形式表示的能量方程，就需要把能量方程中以热能形式出现的项，用适当的机械能形式的项来代替。热力学第一定律提供了这种可能性。因为热力学第一定律的解析式正是表达了热与功相互转换的数量关系。将这一解析式应用于能量方程，便可得到伯努利方程。下面来推导伯努利方程。一般形式的能量方程为)()(2)(21221221122uugHHCCvpvpq损将方程写成微分形式dugdHCddpvdddq)2()(2损（1）由热力学第一定律知Pdvdudq（2）将（2）式代入（1）式并忽略位能的变化，整理得损dvdpCdd)2(2或损ddpvdd)2(2这就是微分形式的伯努利方程。对上式积分得损2122122ppdpCC这就是积分形式的伯努利方程。同能量方程一样，如果气体对外做功，则项前应取负号，因此伯努力方程可综合写成损2122122ppdpCC对于无粘不可压流体(即理想不可压流体)，常数，并沿流管积分得CdCdppCp221或pCp221p221Cpq；上式为理想不可压流体的伯努利方程，或称低速能量方程。其中为静压；为动压，记为称为总压(或全压)。该方程表明，理想不可压流体，沿着流管其全压p保持不变。当流速增大时，动压增大，静压减少；反之亦然。二、伯努利方程的应用发动机工作时，压缩器对气体做功，燃气对涡轮做功等，均可应用伯努利方程作定量分析。另外，空速表测速原理也是伯努利方程的具体应用。（一）求压缩器功在压缩器中，压缩器对气体做功，机械能前应取正号，故有损压21212221CCdpppdppp211dppp211vp和dppp211dppp211为了了解上式的物理意义，应先弄清代表什么?显然的值是与过程的性质有关的。过程不同，的变化就不同，的值也产不同。为使论论具有普遍性，下面以多变过程来研究的物理意义。由于是多变过程，所以nnnppp21)(11221RTRTnnddPpp)(11122vpvpnndppp211)1122()1122(1vpvpvpvpnn上式也可写成，由工程热力学知，)(11122vpvpnn这一项表示多变压缩过程中，压缩1千克静止气体所耗费的功；)(1122vpvp)(11122vpvpnn多压表示推动1千克流动气体所耗费的推动功。二者之和就表示多变压缩过程中，压缩1千克流动气体所耗费的功，简称多变压缩功，用表示。21ppvdpbaa12baa12多压RTpvnnppTT11212)()(从积分的概念得知：等于压容图上面积见图(2—2—7)，即多变过程曲线1—2与纵坐标轴所包围的面积。另外，还可以看出=面积。常常用压力比的形式表示，将以及代入上式得)(11112221vpvpnndppp多压)1212(aOocbooddcc面积面积面积)(11112221vpvpnndppp多压)(112TTRnn1)(11121nnppRTnn至此，可以利用上式说明，得损多压压22122CC上式表明，压缩器对1千克气体所作的功，一部分用来提高气体的压力，另一部分用来增加气体的功能，还有一部分消耗于损失。（二）求轮缘功在涡轮中，气体对工作叶轮作功，机械功应取负号。故伯努利方程可写为损轮缘21212221CCdppp变换后得损轮缘21212221CCdppp与讨论压缩功一样，也要弄清dppp211代表什么。对多变过程积分，并考虑到积分上下限为12pp到，可得)(11221121vpvpnndppp或)()(12211112221vpvpvpvpnnvdppp)(12211vpvpnn)(2211vpvp)(12211vpvpnn多膨可以看出，是表示多变膨胀过程中，1千克静止气体膨胀所作的功，而是表示1千克流动气体所作的推动功，则就表示1千克流动气体在多变膨胀后所发出的功，简称多变膨胀功，以表示。多膨a12ba多膨在压容图上用面积表示(如图2—2—8所示)。也可以用压力比的形式表示nnppppRTnndp1211)(111121为了使上式表示的物理意义更清楚，把它改写成为损轮缘多膨22122CC由此可见，1千克流动气体膨胀后所发出的功，用来对涡轮工作叶轮作机械功，增大气体的动能和消耗于损失。（三）空速表测速原理飞行速度是由空速管、空速表系统来测量和指示的。空速表上的粗针指示飞行表速，细针指示飞行真速，如图2—2—9所示，其原理如下。Hpp空速管上有两种孔，侧壁上一排孔叫静压孔，它感受大气静压，并通过导管与开口膜盒外部相通；空速管前端的孔叫全压孔，用来感受总压，并通过导管和空速表的开口膜盒内腔相通。这样，膜盒内外压强就是动压q。当飞机在海平面飞行时，膜盒内外的压强差为2021CppH表C0表2021Cq膜盒在此压强差作用下膨胀，带动空速表粗针转动，指示飞机表速，用符号表示。表速并不是真正的飞行速度，这是因为刻度盘所表示的表速大小是根据动压和海平面的密度之间的关系而确定的，所以，粗针所转动的角度是随动压q的大小而增减的。如果飞行高度升高，飞行速度不变，此时，由于大气密度减小，动压下降膜盒收缩，空速表粗针所转动的角度减小，指示的表速也随之减小。因此，表速只能反映飞行中动压的大小和海平面的飞行速度，并不能指示任一高的飞行真速。飞行真速是由空速表中细针指示的。细针的转动角度除了受开口膜盒控制外，还受真空膜盒的控制。当飞行高度增高时，真空膜盒膨胀，带动细针多偏一个角度，指示出飞行真速。飞行表速和真速之间有一定的换算关系，根据表真2022121CCqH得到HCC0表真上式表明，在海平面飞行时，真速等于表速；飞行高度增加，真速要大于表速。表速和真速的指示都很重要，缺一不可。表速指示对飞行员的操纵起重要作用。例如，表速大，动压大，意味着飞机的局部载荷大。为了防止飞机的结构遭到破坏，应规定最大限制表速，如歼七飞机的最大限制表速为1200公里/时。表速小，间接说明飞机的迎角大，为了不使飞机超过失速迎角，也规定最小限制表速，如歼七飞机的最小限制表速为215公里/时。而真速指示对飞行员按规定速度飞行和进行领航计算也是必不可少的。