伯努利试验

将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重伯努利试验，简称伯努利试验(Bernoullitrials).伯努利试验Bernoullitrials相互独立的试验伯努利试验A例一批产品的次品率为5%，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，连取4次．求4次中恰有2次取到次品的概率．设Ｂ＝｛恰好有2次取到次品｝,Ａ＝｛取到次品｝，则＝｛取到正品｝．A()5%pPA()1()195%qPAPAp1234()()()()5%PAPAPAPA1234()()()()95%PAPAPAPA分析n=4的Bernoulli试验Ａi={第i次抽样抽到次品}因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4相互独立，所以12341234()()()()()PAAAAPAPAPAPA2422295.005.0qp123412341234()()PBPAAAAAAAAAAAA22424Cpq2295.005.060135.0123412341234,,,AAAAAAAAAAAA123412341234,,AAAAAAAAAAAA四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有624C伯努利定理设在一次试验中事件Ａ发生的概率为p(0p1)，则Ａ在n次伯努里试验中恰好发生k次的概率为knkknnqpCkP)((k＝0，1，2，...，n)其中pq1定理例有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,(1)求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)；(2)求至少有两粒出苗的概率．(1)该试验为4重伯努利试验解kkkqpCkP444)(444()(2)(3)(4)0.8918PBPPP(2)设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则4,0.67,10.33npqp(04)k例设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好命中3次的概率。解该试验为5重伯努利试验，且所求概率为3325()0.70.30.3087PACn=5,p=0.7;q=0.3;k=3例设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。解设A表示“元件使用1000小时不坏”，则()0.2PA设B表示“三个元件中至多一个损坏”，则332233()0.20.20.80.104PBCC设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件,且Ｐ（Ｂ）＞０，则称()()()PABPABPB为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．定义条件概率ConditionalProbability乘法法则()()()()()PABPAPBAPBPAB12121312121()()()(())(())nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA()()()PABPABPB()()()PABPBAPA()()()(|)PABCPAPBAPCAB推广设Ａ1，Ａ2，...，Ａn构成一个完备事件组，且Ｐ(Ａi)＞0，i＝1，2，...，n，则对任一随机事件Ｂ，有1()()(|)niiiPBPAPBA全概率公式1A2A3A11()(|)PAPBA22()(|)PAPBA33()(|)PAPBA()PB设A1，A2，…,An构成完备事件组，且诸P（Ai）0)B为样本空间的任意事件，P（B）0,则有1()(|)(|)()(|)kkkniiiPAPBAPABPAPBA(k=1,2,…,n)贝叶斯公式Bayes’Theorem设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，如果Ｐ（Ｂ｜Ａ）＝Ｐ（Ｂ）即事件Ｂ发生的可能性不受事件Ａ的影响，则称事件Ｂ对于事件Ａ独立．显然，Ｂ对于Ａ独立，则Ａ对于Ｂ也独立，故称Ａ与Ｂ相互独立．事件的独立性independence定义事件的独立性判别事件Ａ与事件Ｂ独立的充分必要条件是()()()PABPAPB发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“．”和“－”，由于通信系统受到干扰，当发出信号“．”时，收报台分别以概率0.8及0.2收到信号“．”和“－”，同样，当发报台发出信号“－”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“－”和“．”．求(1)收报台收到信号“．”的概率．(2）当收报台收到信号“．”时，发报台确系发出信号“．”的概率．讨论设“发出信号.”为事件A，“接收信号.”为B则()0.6;()0.4;()0.8;()0.2;()0.9;()0.1PAPAPBAPBAPBAPBA2，在一盒子中装有15个乒乓球，其中有9个新球。在第一次比赛时任意取出三个球，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样任意取出三个球，求第二次取出的三个球均为新球的概率。解设第一次取出的球为“3新”、“2新1旧”、“1新2旧”“3旧”分别为事件A1、A2、A3、A4；“第二次取出三个新球”为事件B，则41()()()iiiPBPAPBA33213123339696796869333333331515151515151515...CCCCCCCCCCCCCCCCCC某工人照看三台机床，一个小时内1号，2号，3号机床需要照看的概率分别为0.3,0.2,0.1。设各机床之间是否需要照看是相互独立的，求在一小时内：1）没有一台机床需要照看的概率；2）至少有一台不需要照看的概率；3）至多有一台需要照看的概率。解设Ai表示“第i台机床需要照看”，（i=1，2，3）则P（A1）=0.3；P（A2）=0.2；P（A3）=0.1；123(1)()0.70.80.90.504PPAAA123(2)1()10.30.20.10.994PPAAA123123123123(3)()()()()0.902PPAAAPAAAPAAAPAAA