理想流体的有旋流动和无旋流动

第八章理想流体的有旋流动和无旋流动主要内容•理想流体微分形式的基本方程(连续方程、运动方程)•流体微团运动分析（平移运动、变形运动）•二维势流以及叶栅、叶型绕流的升力计算为工程实践提供理论依据；同时是研究黏性流体多维流动的基础•两种方法（1）微元控制体分析法（2）有限控制体分析法一、微分形式的连续方程一、微分形式的连续方程oyxzdmxdmx’dxdydzdt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量dydzdtvdmxxdydzdtdxx)v(vdmxx'xdxdydzdtx)v(dmdmMxx'xx同理：dxdydzdty)v(Myydxdydzdtz)v(Mzzdt时间内，控制体总净流出质量：zyxMMMMdxdydzdt)v(divdxdydzdtv由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即dxdydzdttdxdydzdt)v(divdxdydzdtz)v(y)v(x)v(zyx连续性微分方程——连续性方程的微分形式不可压缩流体0vdiv常数0zvyvxvzyx0vt)v(divt定常流动即二、流体微团运动分解•流体微团：指大量流体质点组成的具有线性尺度效应的微小流体团。•流体在运动过程中可能发生变形或旋转，只要微团的运动分析清楚了，流场的运动就知道了。zxyM0dxdydz一般运动＝平移＋线变形＋旋转＋角变形tttM0M微团体积膨胀率：流体微团的体积在单位时间的相对变化。1.平移运动——平移速度vx,vy代表微团平移运动。2.线形变运动：为x方向流体线的线变形速率;：为y方向流体线的线变形速率;：为z方向流体线的线变形速率。xvxxxyvyyyzvzzzv1zvyvxvtd)V(dVzyxxy绕平行于z轴的转动轴旋转角速度：4旋转运动（由等分角线是否旋转来确定）yvdtdx1xvdtdy2绕z轴的平均旋转角速度：)(21xvyvyxzvkjiω21zyx由对应的角速度3.角变形运动平面上两垂直流体线的平均角变形速率：yvdtdx1xvdtdy2xyyxxvyvdtdd)(21)(2121)xvxv(ijjiij2121Summary:流体微团的运动由三部分组成：（1）以速度v作平移运动；（2）绕某瞬时轴以平均角速度旋转，不引起微团形状的改变；（3）纯变形运动：线变形速率使流体微团的体积膨胀或缩小，角变形速率使流体微团发生角变形。ωzzyyxx,,zxyzxy,,ttt速度分解定理的意义：（1）旋转运动从一般运动中分离出来，流体运动分为无旋和有旋运动;（2）变形运动从一般运动中分离出来，流体的变形速率与应力联系起来，研究粘性流体运动规律。ijijωvΩ2（有旋）0v（无旋）0vTaylor展开并略去高阶小量，有zzyyxxtzyxtzzyyxxMvvvvv),,,(),,,(zzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzvyyvxxvvvzzzzMzyyyyMyxxxxMx3,2,1ixxvvvjjiiiMt时刻：流体微团),,(0zyxMkjivwvutzyx),,,(kjirzyx),,(zzyyxxMkjivMMMMwvutzzyyxx),,,()(21)(21ijjiijjiijijjixvxvxvxvxv)(21ijjiijxvxv)(21ijjiijxvxvjjiiiMxxvvv变形运动旋转运动平移运动亥姆霍兹运动分解定理三、理想流体运动方程•牛顿第二定律maF•流体平衡的欧拉方程：01pf•欧拉方法中加速度的表达形式：zvvyvvxvvtvaxzxyxxxxvvtva流体运动欧拉方程zpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzvvyvvxvvtvzzzzyzxzyyzyyyxyxxzxyxxx111兰姆方程pfvwvtv1222当流动是无旋的；否则，流动是有旋的。0zyx四、定解条件•1、起始条件：起始瞬时流场中的流动分布z,y,x,z,y,xpp,z,y,xvv,t0是研究非定常流动必不可少的定解条件•2、边界条件：方程组的解在流场边界上应当满足的条件。A、固体壁面：壁面上流体质点的法向速度应等于对应点上壁面的法向速度流体与固体壁面的作用力也必沿壁面法线方向；B、流体交界面：在交界面同一点，两种流体法向速度相等，对于平面，压力相等；C、无穷远处：一般给定参数；D、流道进、出口处，可根据具体情况确定。五、有旋流动的基本概念有旋运动的基本特征:存在涡量场。0vΩ积分时时间变量t作常数处理。涡线(Vortexline):任一时刻，涡线上每一点的切向量都与该点的涡向量相切。涡线微分方程0rΩd),,,(),,,(),,,(tzyxdztzyxdytzyxdxzyxrdω涡管(vortextube):某一时刻，由涡线组成的管状曲面。截面积无限小的涡管称为涡束（涡线）。涡通量(vortexflowrate):旋转角速度的值与垂直于角速度方向的微源涡管横截面积的乘积的两倍。涡量场的通量（涡强）。AndAdAJ2Ω速度环量(velocitycirculation):速度在某一封闭周线切线上的分量沿该封闭周线的积分。dzvdyvdxvsdzyxKKvΩnCSΩ速度环量是标量，其正负号与速度和线积分绕行方向有关，规定：其绕行正方向为逆时针方向，面积的法线与正方向形成右手螺旋系统。ABCDxvdyyvvxxdxyvvyydyyvdxxvvyyydyyvdxxvvxxxdxxvvxxdxxvvyyyvxy0从A点起逆时针方向积分，可以得到微分形式的速度环量为dyvvdxvvdyvvdxvvdyAyDxDxCyCyBxBxA2222六、Stokes定理dxdyyvxvdxyzxyyvxvdxdyd2dAwsdvAn2将各点速度代入，并忽略高阶小量，得到JK六、Stokes定理速度环量定理（Stokes定理）沿任意封闭周线的速度环量等于该周线所包围的面积的涡通量。即：涡通量和速度环量都是反映旋涡作用的强弱。应用条件：单连通区域，即任意封闭周线都能连续地收缩成一点而不越出流体的边界。AddAsdvKΩvJC例题•已知理想流体定常流动的速度分布公式为试求涡线方程与沿封闭周线的速度环量，a，b为常数。02122zyxvv,xyav0222zbyx例题•已知平面流动的流速为:（1）检查是否连续；（2）是否无旋；yxxvx422yxyvy22有旋流动特点:（有旋）0v1、),,,(),,,(),,,(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx2、JdzvdyvdxvdAJzyxAn23、第七节汤姆孙定理亥姆霍兹定理1、汤姆孙定理：理想正压流体在有势质量力的作用下，速度环量和旋涡都是不能自行产生或消失。理想流体没有粘性。2、亥姆霍兹定理：A、在同一瞬间涡管各截面上的涡通量都相同。涡管不能在流体中开始或者终止，自能形自封闭管圈，或者在边界上开始或终止。B、理想正压流体在有势的质量力作用下，涡管永远保持为由相同流体质点组成的涡管。C、涡管强度不随时间变化，永远保持为定值。CdAAn2涡管不可能在流体中开始或终止，它只能自成封闭形，或开始、终止于边界面或伸展到无穷远。龙卷风开始和终止于地面与云层。烟圈呈环形。第八节平面涡流•前提：重力作用，理想不可压流体。•一无限长，涡通量为J的铅直涡束，象刚体一样以等角速度ω绕自身轴旋转。涡束周围的流体受涡束的诱导将绕涡束轴做对应的等速圆周运动。•涡束内的流动为有旋流动，称为涡核区；涡束外的流动为无旋流动，称为环流区。第八节平面涡流vxy环流区速度分布:rvv,vrrrvrb202伯努利方程:2822/222222bbvpprpvpppvp涡核区:222221,0bbrrrpprrrvvv由欧拉方程：涡核边沿：第八节平面涡流•涡核中心区，流速为0，压强为：涡核边沿至涡核中心的压降为：2bcvppbbcbppvpp221结论：在环流区随着半径减小，流速升高，压强降低；涡核区和环流区的压强降相等；涡核区的压强比环流区的低，涡核区本身很小，使得径向压强梯度大，故有向涡核中心抽吸作用。应用：离心泵，旋风燃烧室，离心式除尘器等。主要内容：1、速度势；2、流函数；3、简单平面势流及其叠加。第九节速度势、流函数、流网第九节速度势、流函数、流网•一、速度势yvxv,xvzv,zvyvwxyzxyz0t,z,y,x为函数全微分的充要条件dzvdyvdxvzyxgradkzjyixvzv,yv,xvdzzdyydxxdzyx一、速度势BAABBAzyxABddzvdyvdxv22222220zyxAB积分与曲线形状无关不可压缩流体连续性方程：0zvyvxvzyx不可压缩流体的有势流动中，速度满足拉普拉斯方程；势函数Φ为调和函数；势流为不可压缩流体的无旋流。二、流函数•对于不可压平面流动yxyxvdyvdxyvxvdyvdxvdxv,yvxyyx每条流线上，dΨ=0，Ψ=常数，所以Ψ（x，y）为流函数对于无旋流动：222220yx流函数Ψ为调和函数P206，qv=Ψ2-Ψ1，沿流线全长，两流线间的流量保持不变。三、流网•对于不可压缩流体平面无旋流动中：xyvyxvyx0yyxx可知流线和等势线是正交的，等势线iC和流线形成了由相互垂直的交叉线组成的网，称为流网。iK流线等势线1K2K3K1C2C3C4Cyvyxvx第十节几种简单的平面势流•势函数的作用：对于不可压缩流体的无旋流动问题归结为根据起始条件和边界条件求解拉普拉斯方程问题。求解：均匀等速流，源流和汇流，势涡m0V一、均匀等速流•流线平行，流速相等jvivjvivvyxyx00其中vx0，vy0为常数yvxvdyvdxvdyydxxdyxyx0000yvxvdyvdxvdyydxxdxyxy0000P=常数二、源流和汇流xyψ=constφ=constr源流xyψ=constφ=constr汇流定义：在无限平面上，