§2.8拉普拉斯(Laplace)定理

一、k级子式余子式代数余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理三、行列式乘法法则§2.8Laplace定理一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列()，位于这些行和列的交叉点上的个元素kn2k式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后式，称为k级子式M的余子式；M余下的元素按照原来的次序组成的级行列nk§2.8Laplace定理若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是，则在M的余子式前1212,,,;,,,kkiiijjjM后称之为M的代数1212(1)kkiiijjj加上符号余子式，记为.1212(1)kkiiijjjAM注：①k级子式不是唯一的.（任一n级行列式有个k级子式）．kknnCC时，D本身为一个n级子式．kn②时，D中每个元素都是一个1级子式；1k§2.8Laplace定理二、拉普拉斯(Laplace)定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致．§2.8Laplace定理Laplace定理由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的设在行列式D中任意取k()行，11kn代数余子式的乘积和等于D．即若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式则.1122.ttDMAMAMA12,,,,tAAA，它们对应的代数余子式分别为12,,,tMMM为§2.8Laplace定理11111111111111110000*kkrkkkrkkkrrrrrraaaabbaaDbbaabbbb②①时，1122ttDMAMAMA1k即为行列式D按某行展开；注：为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果．§2.8Laplace定理1214012110130131D例1：计算行列式解：1122,10M2110,11M3141,13M5246,03M4212,01M614113M它们的代数余子式为§2.8Laplace定理1312101(1)001A1324211(1)211A,,1323312(1)513A1312401(1)001A,,4113502(1)003A1312601(1)001A,.(2)10(2)(1)52060(1)07D∴§2.8Laplace定理三、行列式乘法法则设有两个n级行列式11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb其中1122ijijijinnjcababab11121212221212nnnnnnccccccDDccc则1,nikkjkab,1,2,,ijn§2.8Laplace定理证：作一个2n级的行列式11111111000011nnnnnnnnaaaaDbbbb11111111nnijijnnnnnnaabbDabaabb由拉普拉斯定理§2.8Laplace定理又对D作初等行变换：11222,1,2,,.iinininnrarararin可得11111111000011nnnnnnnnccccDbbbb这里1122,,1,2,,.ijijijinnjcabababijn§2.8Laplace定理12(1)2(1)(1)nnnnijijDcc1122,,1,2,,.ijijijinnjcabababijn从而,ijijijabc§2.8Laplace定理例2：证明齐次性方程组12341234123412340000axbxcxdxbxaxdxcxcxdxaxbxdxcxbxax只有零解．其中不全为0．,,,abcd§2.8Laplace定理证：abcdbadcDcdabdcba系数行列式2abcdabcdbadcbadcDDDcdabcdabdcbadcba2222222222222222000000000000abcdabcdabcdabcd§2.8Laplace定理22224()abcd,,,abcd22224()0abcd由不全为0，有即，故方程组只有零解．0D