第23章-解直角三角形复习

实验中学数学组三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；锐角之间的关系∠A＋∠B＝90º边角之间的关系（锐角三角函数）tanA＝absinA＝ac1、cosA＝bcＡＣＢabc解直角三角形的依据cotA＝ba2、30°，45°，60°的三角函数值30°45°60°sinacosatanacota2232333123222121┌┌4504503006003331在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念lhα（2）坡度tanα＝hl概念反馈（1）仰角和俯角视线铅垂线水平线视线仰角俯角（3）方位角30°45°BOA东西北南α为坡角解直角三角形：(如图)bABCa┌c只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角【热点试题归类】题型1三角函数1.（2016，大连）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值为_______．2.（2016，旅顺口区）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则cosA的值为______．3.（2016，温州）如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，则cosA等于（）1312.,512.,135.,122.DCBA3535D4.（2016，成都）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，已知AC=5BC=2，那么sin∠ABC=（），A．52255...3352BCD5．（2016，海淀区）计算：|-28|+（cos60°-tan30°）+．A123题型2解直角三角形1.（2016，烟台）如图4，在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=a，且cosα=35AB=4，则AD的长为（），162016..335CDA．3B．B题型3解斜三角形1.（2006，盐城）如图6所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC的面积（结果可保留根号）．问题三：一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹角为450，则这棵大树高是米.（4+4）2如果在大树的断点B上方2米处(D),用一根支柱进行加固，地面上的加固点为A，则支柱AD长至少为米。213解：过C作CD⊥AB于D，设CD=x．在Rt△ACD中，cot60°=ADCD3在Rt△BCD中，BD=CD=x．∴33x+x=8．解得x=4（3-）．33=16（3-）=48-16．，33∴AD=x．12123AB·CD=×8×4（3-∴S△ABC=）问题五:如图：是一海堤的横断面为梯形ABCD，已知堤顶宽BC为6m，堤高为3.2m，为了提高海堤的拦水能力，需要将海堤加高2m，并且保持堤顶宽度不变，迎水坡CD的坡度也不变。但是背水坡的坡度由原来的i=1:2改成i=1:2.5（有关数据在图上已注明）。(1)求加高后的堤底HD的长。(2)求增加部分的横断面积(3)设大堤长为1000米，需多少方土加上去？(4)若每方土300元，计划准备多少资金付给民工？::6mMEHBACD6m3.2m2m6mMNEFDH5.2m5.2mBAGHCD3.2m6m3.2m6mMEHBACD6m3.2m2m图①图②图③(1):从图③中,你能求得这个横断面哪些量?图②呢?求堤底HD的长与图③有关吗?从图②中如何求出HD的长.解:HD=HN+NF+DF=13+6+10.4=29.4(m)答:加高后的堤底HD的长是29.4米(2):如何求增加部分的面积?直接能求图①中阴影部分的面积吗?那么增加部分的面积与什么图形的面积有关?ABCDHMEDSSS梯形梯形增加部分解：)(36.5268.3904.922.328.1862.524.2962m答:增加部分的横断面积52.362m(3):解:)(52360100036.523m答:需52360方土加上去。(4):解:52360300=15708000（元）=1570.8(万元)答:计划准备1570.8万元资金付给民工.题型3解斜三角形2.（2016，广安市）如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东60°的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向，问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？2．解：过P作PC⊥AB于C点，据题意知：AB=9×26=3，∠PAB=90°-60°=30°，∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°．∴PC=BC．在Rt△APC中，PC3．∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险．3PCPCPCACABBCPCtan30°=，33333,32PCPCPC即=，45°C60°NMPBA4、考点热点透析4.海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上。如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由。分析：渔船是否有触礁危险，关键是看渔船在其航线上离小岛最近处是否超过18海里:若超过，则无危险；若不超过，则有危险。D45°C60°NMPBA解：过点P作PD⊥AC于点D，设PD=x海里，由题意得，∠PAC=30°，∠PBC=45°。在Rt△PAD中,tan∠PAC==,∴AD==同理：在Rt△PBD中,BD===x又∵AD-BD=12,∴-x=12,解得,x=6+=16.3海里﹤18海里∴如果渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险.ADPDADxPADxtan30tanxPBDxtan45tanx30tanx36D4、考点热点透析去年“云娜”台风中心从我市（看成一个点A）的正东方向300km的B岛以每时25km的速度正面袭击我市，距台风中心250km的范围内均受台风的影响.我市遭到了严重的影响，那么影响时间有多长？问题四台风经过我市的路程-------刚好是一个半径为250km的圆的直径小时）(20252250t解:答：受台风影响的时间为20小时。t=vr2r表示台风形成区域圆的半径V表示风速今年“卡努”台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多长？今年“卡努”台风中心从我市的正东方向300km处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多长？如图，若AD≤250km，则受台风影响；若AD＞250km，则不会受台风影响。EF解：会受到影响。以A为圆心，250km长为半径画圆交直线BC于E、F，则DF=DE=200km，1625400t∴（小时）答：影响时间为16小时。250连结AF，AE，DNBA600C则∠ADB=900，AB=300km，∠ABD=300，∴AD=150km，作AD⊥BC于D，∵150250，∴会受到台风影响为了便于很快了解每次台风的消息，做好充分的预防工作，在以上信息的启示下，你能应用学过的知识帮助气象台编制一个受台风影响的时间计算式子吗？若能，需要哪些数据？用式子怎样表示?（台风方向：如北偏西α度，台风中心位于某市正东a千米处；风速：v千米／时，影响半径为r千米。）解：如图，设A市与台风中心移动的方向线BC的最近距离为b千米，则b=asin(900-α)=acosαvart222cos2则影响时间（racosα）NBACαaEFrDbt=vr2r表示台风形成区域圆的半径V表示风速题型4应用举例1．（2016，浙江台州）有人说，数学家就是不用爬树或把树砍倒就能够知道树高的人．小敏想知道校园内一棵大树的高（如图1），她测得CB=10米，∠ACB=50°，请你帮助她算出树高AB约为________米．（注：①树垂直于地面；②供选用数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）122.（2016，成都）如图2，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米，已知小华的身高为1.6米，那么分所住楼房的高度为________米．3．（2016，烟台）如图3，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为______米．482034.（2016，晋江）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=65°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=3m，求点B到地面的垂直距离BC（精确到0.1m）．22DEADBCAB4．解：在Rt△ADE中，DE=3∠DAE=45°，∴sin∠DAE=∴AD=6．又∵AD=AB，在Rt△ABC中，sin∠BAC=∴BC=AB·sin∠BAC=6·sin65°≈5.4．答：点B到地面的垂直距离BC约为5.4米．，，，5.（2016，哈尔滨市）如图，在电线杆上的C处引位线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆C处的仰角为30°，已知测角仪AB高为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）5．解：过点A作AH⊥CD，垂足为H．由题意可知四边形ABDH为矩形，∠CAH=30°，∴AB=DH=1.5，BD=AH=6．在Rt△ACH中，tan∠CAH=CHAH333，∴CH=AH·tan∠CAH=6tan30°=6×=2CDCE在Rt△CDE中，∵∠CED=60°，sin∠CED=231.5sin6032CD∴CE=3=（4+）（米）．3∵DH=1.5，∴CD=2+1.5．答：拉线CE的长为（4+3）米．这节课你有哪些收获?你能否用所学的知识去解决一些实际问题吗?题型5综合与创新1.（2016，绵阳）小明骑自行车以15千米/小时的速度在公路上向正北方向匀速行进，如图1，出发时，在B点他观察到仓库A在他的北偏东30°处，骑行20分钟后到达C点，发现此时这座仓库正好在他的东南方向，则这座仓库到公路的距离为_____千米．（参考数据：3≈1.732，结果保留两位有效数字）1.82.（2016，烟台）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上（如图2），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如图3），若AB=4，BC=3，则图（2）和图（3）中点B的坐标为___，点C的坐标为____．3答案：图（2）中：B（4，0），图（3）中：B（2，2）；433334,22图（2）中：C（4，3），图（3）中：C（）．3.（2016，浙江台州）数学活动课上，小敏、小颖分别画了△ABC和△DEF，数据如图，如果把小敏画的三角形面积记作S△ABC，小颖画的三角形面积记作S△DEF，那么你认为（）A．S△ABCS△DEFB．S△ABCS△DEFC．S△ABC=S△DEFD．不能确定小敏画的三角形小颖画的三角形C4.（2016，上海）已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB=，求：（1）线段DC的长；45（2）tan∠EDC的值．125ADCD∴CD=BC-BD=14-9=5．（2）∵E是Rt△ADC斜边AC的中点，∴DE=EC，∴∠EDC=∠C．∴tan∠EDC=tan∠C=．124sin5ADB4．解：（1）在Rt△ABD中，AB==15．22ABAD∴BD==9．5.（2016，浙江绍兴）某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=68°，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的