第九章 地下水向完整井的非稳定运动

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1第9章地下水向完整井的非稳定运动1MULTIPLEAQUIFERSDistortedscale!!9.1承压含水层中的完整井流(一)泰斯模型水文地质条件(八个假设)①承压含水层均质、各向同性,等厚且水平分布,水和含水层均假定为弹性体;②无垂向补给、排泄,即W=0;③渗流满足达西定律;④完整井,假定流量沿井壁均匀进水;⑤水头下降引起地下水从储量中的释放是瞬时完成的;⑥抽水前水头面是水平的;⑦井径无限小且定流量抽水;⑧含水层侧向无限延伸。在上述假设条件下,抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗,将坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处,井轴为Z轴,如图4-1所示。图4-1承压水完整井流分析定流量抽水条件下形成轴对称井流流场,其定解问题可写为:()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∞∞≤=∞≤∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂→0)(2lim0,00,0,0100022tQrHrTtHtHrHrHtrtHrHrrHr常量πα(二)数学模型(4-1)(4-2)(4-3)(4-4)此时,单井定流量的承压完整井流,可归纳为如下的数学模型:式中,s=H0-H。下边研究如何求降深函数s(r,t)。为此,利用Hankel变换,将方程式(4-1)两端同乘以rJ0(βr),并在(0,∞)内对r积分。2*21ssusrrrTt∂∂∂+=∂∂∂t0,0r∞(4-1)(4-2)s(r,0)=00r∞s(∞,t)=0,0rsr→∞∂=∂0lim2rsQrrTπ→∂=−∂(4-4)(4-3)t0设导压系数,则有:方程式右端方程式左端,利用分部积分,同时注意到边界条件式(4-3)与式(4-4),有:按Bessel函数的性质,有:*Taμ=00001()()ssarrJrdrrJrdrrrttββ∞∞∂∂∂⎛⎞=⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫0000()()sdsrJrdrsrJrdrttdtββ∞∞∂∂==∂∂∫∫[]01001()()()2saQarrJrdrasdrJrrrtTβββπ∞∞∂∂=−∂∂∫∫[]1000()()sdrJrsrJrdrβββ∞∞=∫∫2因此,有:上述定解问题,经过Hankel变换,消去了变量r,转变为常微分方程的初值问题,即:其解为:再通过Hankel逆变换由求s,即:2001()2saQarrJrdrasrrrTββπ∞∂∂⎛⎞=−⎜⎟∂∂⎝⎠∫2200dsaQasdtTstβπ+===2()02tataQsedTβττπ−−=∫200()000()()2tatssJrdaQeJrddTβτββββββτπ∞∞−−=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫∫(4-5)s先计算方括号内的积分,为此设:将(4-6)式对r求导数,有:根据(4-6)式,有:2()00()()atFreJrdβτβββ∞−−=∫(4-6)22()00()00()()1()2()atatFreJrdreJrdatβτβτββββγββτ∞−−∞−−∂′=∂=−−∫∫()()2()()()2()rFrFratdFrrdrFratττ′=−−=−−两边积分得:令,则有:故:利用r=0时的F(r)值,由(4-6)可以确定C值:但由(4-7)式,有:把上式代入(4-5)式,有:21ln()4()rFrCatτ=−+−1lnCC=2()ln4()FrrCatτ=−−24()()ratFrCeτ−−=(4-7)2()001(0)(0)2()atFeJdatβτββτ∞−−==−∫1(0),2()FCCatτ==−24()1()2()ratFreatττ−−=−24()0122()rtataQsedTatττπτ−−=−∫(4-8)为计算方便,对(4-8)式进行变量代换,令:同时更换积分上下限,当τ=0时,当τ=t时,y=于是,其中,222,4()4rryddyatayττ==−atry42=222244444yyruatQerQesdydyrTayTyayππ−−∞∞==∫∫(4-9)22*44rruaTTtμ==(4-10)∞在地下水动力学中,采用井函数W(u)代替(4-9)式中的指数积分式:则(4-9)式可改写成:式中,s——抽水影响范围内,任一点任一时刻的水位降深;Q——抽水井的流量;T——导水系数;t——自抽水开始到计算时刻的时间;r——计算点到抽水井的距离;µ*——含水层的贮水系数。(4-9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公式,也就是著名的Theis公式。()()yiueWuEudyy−∞=−−=∫()4QsWuTπ=(4-11)为了计算方便,通常将W(u)展开成级数形式:并制成数值表(表4-1),只要求出u值,从表4-1中就可查出相应的W(u)值;反之亦然。21()0.577216ln(1)nynunuWuedyuuynn∞∞−===−−+−−⋅∑∫3Theis标准曲线1E-061E-051E-041E-031E-021E-011E+001E+011E+021E-021E+001E+021E+041E+061E+081E+101E+121E+141E+161/uW(u)2.流量变化时的计算公式Theis公式是在假定流量固定不变的情况下导出的。这种情况通常只有在抽水试验时才能做到。实际上,很多生产井的流量是季节性变化的。如农用井在灌溉季节抽水量大,非灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情况,常随需水量而变化。在这种情况下,怎样应用Theis公式?首先需要绘出生产井的Q=f(t)关系曲线,即流量过程线。然后将流量过程线概化,用阶梯形折线代替原曲线,坐标选择如图4-2所示。概化原则是矩形面积等于曲线于横坐标所围成的面积。其中,每一个阶梯都可视为定流量,应用Theis公式。把各阶梯流量产生的降深,按叠加原理叠加起来,即得流量变化时水位降深的计算公式。当0tt1时,水位降深为:2144QrusWTTtπ∗⎛⎞=⎜⎟⎝⎠图4-2流量概化呈阶梯状变化图1iittt−2221121114444()44()iiiQQQQQrrrsμμμπππ∗∗∗−−⎡⎤⎡⎤⎛⎞−−=++⋅⋅⋅+⎜⎟⎢⎥⎢⎥−−⎝⎠⎣⎦⎣⎦当时,水位降深为:t时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降深为:式中,设t0=0,相应的Q0=0。(4-12)式为流量变化时,经概化呈阶梯状变化后的计算公式。21111()44()niiiirsQQWTTttμπ∗−=−⎡⎤=−⎢⎥−⎣⎦∑1iittt−(4-12)前三项之后的级数是一个交错级数。根据交错级数的性质可知,这个级数之和不超过u。也就是说,当u很小,井函数W(u)用级数前两项(-0.577216-lnu)代替时,其舍掉部分不超过2u。因此,•当u≤0.01(即)井函数用级数前两项代替时,其相对误差不超过0.25%;•当u≤0.05时(即),相对误差不超过2%;•当u≤0.1时(即),相对误差不超过5%。一般生产上允许相对误差在2%左右。因此,当u≤0.01或u≤0.05时,井函数可用级数的前两项代替,即:225rutT∗≥25rutT∗≥22.5rutT∗≥22.25()0.577216lnlnTtWuurμ∗−−=3.Theis公式的近似表达式如前述,Theis公式中的井函数,可以展开成无穷级数形式,即:21()0.577216ln(1)!nynunuWuedyuuynn∞∞−===−−+−−⋅∑∫4于是,Theis公式可以近似地表示为下列形式:(4-13)式称为Jacob公式(1946)。流量阶梯状变化时,当ui≤0.01时,即(4-12)式可近似地表示为:2*22.250.1832.25lnlg4QTtQTtsTrTruπμ==∗(4-13)11212.25()0.183()lgniiiiTttsQQTrμ−−∗=−=−∑(4-14)2()25(1,2)irttinTμ∗−≥=L泰斯公式讨论1、各因素对降深的影响(一)()0,0,,=⇒→∞→↓↑suWrs①r()0,0,0,=⇒→∞→=↑↑suWuts②t成正比与抽水量降深Qs③,↓↑s④eμ说明:在抽取地下水后无补给增量与排泄减量的条件下,开采量全部来自储存量的释放,体现在水头降深上,当弹性给水度μe为常量,且瞬时释水,Q与s成正比。说明:当Q和t一定时,含水层释水的体积V=Qt一定。若μe越大,表明单位水平面积的含水层柱体在单位水头下释水能力越强,则s越小。反之,μe越小,则s越大。()()atruuWTQtrs44,2==π泰斯公式讨论1、各因素对降深的影响(二)↓→↑sTTQA4:π⑤s与T的关系表现为:↑→↑⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛sTtTrWBe4:2μ理解为内边界条件对s的作用。Q是定流量的内边界条件,而当井径rw一定时,Q/T可理解为水力坡度的内边界条件。Q/T越大,J越大,s越大,所以,T越大,J越小,s越小。理解为任一由r至r+△r围成的均衡段内其下游断面流量Qr大于上游断面流量Qr+△r必由均衡段内含水层释水量来均衡,从而导致水头降在漏斗一定且μe一定时,若T大,则s亦大;若T小,则s亦小。泰斯公式讨论1、各因素对降深的影响(三)↑↑→=sasTaT⑥see随的关系与μμa:导压系数压力传导系数不应理解为含水层某种压力改变后,压力向四周传播的速度。实际上压力传播的速度是以含水层的音速推进,在前面假定中假定了释水瞬时完成。这也就意味着不管抽水持续时间多短,任何r处都瞬时发生水头下降。对含水层而言,a可理解为含水层由于某种因素(外界刺激)破坏原有平衡形成不稳定流动时,地下水水头再分布以适应新条件的速度。在某些条件下,表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动(水头H随时间变化,但水力坡度J不随时间变化的一种不稳定流动)的速度。泰斯公式讨论1、各因素对降深的影响(四)⑦t趋向无穷大时,s也趋向于无穷大。()()uWTQtrsπ4,=这似乎不太合理。但要注意公式的应用条件,承压井流保持承压状态,即s不得大于(H0-M),否则将转化为承压-无压井流,破坏了基本条件。对于无压井流,s不得大于h0。因为在s=h0以后,流量将变小,破坏了定流量的基本条件,那时,就转变为定降深变流量的条件了。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∂∂⋅=∂∂−−−−14141141414242242244222222atretTQtetaretTQettTQtsatratratratrπππ()atruetTQtarueTQtuduudWTQts4222141444−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∂∂=∂∂πππ①由此可以看出:对同一时间而言,近处水头下降快,远处慢。②对于同一距离、不同时间的下降速率,需要将上式左端再对t求导:由此可见:s=s(t)曲线有一拐点。要求拐点位置,令上式等于0。泰斯公式讨论2、承压含水层中任意点水头下降速度(一)5设拐点处时间为t,则:arti42=()214440.21940.01754iiQrQsWWTatTQQTTπππ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠=×=那么拐点处降深为:该式表明拐点处降深与r无关。则拐点处斜率为:2212117.0368.044rQTraQeraTQtseiμππ=⋅=⋅⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−在抽水过程中,水位下降速率随时间:由慢——快——慢泰斯公式讨论2、承压含水层中任意点水头下降速度(二)由可知:atretTQts4214−=∂∂π⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≥≤artatr222501.04当t足够大时,以致:tKMQtseatr14199.042⋅≈∂∂∴≈=∴−π意味着,在一定范围内,它们的水头下降速度相同,与r无关。(即J不变)泰斯公式讨论2、承压含水层中任意点水头下降速度(三)地下水动力学课程组tKMQts14⋅≈∂∂π意味着,在一定范围内,它们的水头下降速度相同,与r无关(即J不变)。换言之:在一定r范围内,经过一定的抽水时间之后,承压漏斗曲线平行下降。该现象已被大量抽水试验验证。漏斗曲线平行下降范围可按下式近似确定:atr

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