递推数列通项公式的求法

递推数列通项公式的求法广东省连州市连州中学王宗祥问题1：（05高考：湖南卷）已知数列满足，则＝问题2：（05高考：广东卷）已知数列满足，，若，则()（Ａ）（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５}{na)(133,0*11Nnaaaannn20a3.0.3.3.2ABCDnx122xx121,(3)2nnnxxxnlim2nnx1x32100*221),(,)1(12,1}{)05(3SNnaaaaannnn则且中，在数列高考：天津卷：题问.}{,23,1),3(,)21(3}{05(42122的通项公式求数列且满足项和前的列高考：江西卷）已知数：题问nnnnnnaSSnSSSna.,),3(),(,),2(,,),2(,20052122111111项公式的求法究这几类递推数列的通两节课就来研的通项的问题，我们这孔型如：了新面的通项的问题，也出现和中既出现了常见的型如年高考，而在个重点，也是一个难点年的高考中既是一求数列的通项公式在历baaannfaabaaanqapaamandacbaaannnnnnnn型题型一：qpaann1.,232,1}{11nnnnaaanaa求有时，当中，例一、在数列22323322323(332333)23(323233322221＋＋＋＝＋）＋【方法一】迭代法：nnnnnnaaaaaa.132131323223232331113211nnnnnna.132,3)1(1)1(31,1,23,23),(3)(1111111nnnnnnnnnnnnaaaaamaamaamama即于是，得对比则设转化为等比数列【方法二】待定系数法)2232311naaaannnn（由递推关系，得：数列【方法三】转化为等比.132,3423,3)(),(311112111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaa所以即将上述两式相减，得：22323322233(32322332)23(323,23,1,2323234223211＝）＝＝得：由与证明【方法四】归纳、猜想aaaaaaaann.132)1333(231321nnnnna猜想：小结：对于递推数列an=pan-1+q,上述四种方法是处理数列问题的基本方法.？？思考：你能给出上面递推数列的通项公式吗？想想看？)1(,1)1()1(,)1(111ppqppqaapqnaannn答案：型题型二：)(1nfpaann.,)1(1,1}{11nnnnannaaaa求通项公式满足例二、已知数列)()(1121nnnaaaaaa【分析】运用累差法111)1(11nnnnaann解：由211312121311121111122332211aaaannaannaannaannnnnn.12,11)1(1nanaannn个式子求和得：对这.),2(,1221,1}{11nnnnannaaaa求通项公式满足例三、设数列).12121()221(2112])1([21,)1(,1111BAnAbbnBnAbaBAnbBnAbaBAnbaBAnabnnnnnnnnnnn即则解：设数法转化为等比数列【分析一】运用待定系.6423,23,)21(642164012202211111nabbbnabbbBABAAnnnnnnnnnn即且于是，令.,221,,2)(2112211221111111求解转化为题型一，从而可得令两式相减得【分析二】由nnnnnnnnnnnnnbbaabaaaanaanaa.2)12(,2,2)12(22,12211111求解转化为题型二之例二可则令得【分析三】由nnnnnnnnnnnnnnccacnaanaa小结：①通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）.②一般的，对于an=pan-1+f(n),当p=1时，运用累加法求通项；当p≠1时，运用待定系数法求通项或转化为题型一或题型二之例二.题型三：an=f(n)an-1型的通项公式。求数列例四、已知：}{,1212,311nnnaannaa.12112312353751232121211223211nnaannnnnaaaaaaaannnnn解：题型四：,321,32111nnnnnaaaaa得【分析】由.,23,11转化为题型一则令nnnnbbab型dacbaaannn11.,32,1}{111nnnnnaaaaaa求通项满足例五、已知数列.13211nna答案：.),2(423,4}{111nnnnnanaaaaa求满足例六、已知数列122512,4)1(21,4)2(521,23424]342)[3(423111111211111nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaammmmmammamaama两式相除得：解得令【分析】设.252252,)25(2)25(12121111111nnnnnnnnnaaaaa.,5152,214)2(52111转化为题型一则得后，令说明：得到nnnnnnnbbabaaa20*11),(133,0}{1aNnaaaaannnn则满足：已知数列我们来看问题3－.3.0,3,3,3,3,0,3,3,02023133654321aaaaaaaaaannn得【分析一】归纳法：由.3)60tan(tan,6019,60),60tan(tan,tan202012011aannnnnn则取则结构，令【分析二】观察式子的型题型五：21nnnqapaa.,65,2,1}{2121nnnnnaaaaaaa求数列的通项中，例七、已知数列)2(32)3(2332065,6,5,)(),(211211221211nnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaxxaaaaaaa，＝，＝的两根，是方程、即即设【分析】用待定系数法.2:2132)2(03)2(2)1(22)3(31212122121nnnnnnnnnaaaaaaaaa得）（）（.22211nnnnaaa）得：也可以直接由（.}{,,,)(),(1111111的等比数列，而获解是公比为，于是、解得从而则可得可以变形为说明：＋nnnnnnnnnnnnaaqpaaaaaaaqapaa型题型六：)(2nfaann.}{}{}{}{}{}{}{}{),2(),(4312212222的通项再求数列的通项，和的通项就转化为求数列列的相邻两项，所以求数成的数列和奇数项组列的中的偶数项组成的数是数列和通项可用累加法，因为的求递推关系是同一类型的和问题【分析】以上问题nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannfaa下面我们来解决问题3和问题4：问题3：数列{a2n-1}和数列{a2n}分别是公差为d1=0和d2=2的等差数列，以下请同学们试试.答案：2600问题4：【解法一】：)(,)21(223)2(,)21(21])(1[3])21()21()21()21()21([(3)()()()()2(,)21(3)21(1*12221241412112325322242224624221212222NnSSnSSSSSSSSSSnSSnnnnnnnnnnnnnnn满足上式，故又）偶数时，（②①满足上式，故又）奇数时，（)2(,)21(34*)(,)21(34*)()21(21)2(,)21(21])(1[)(31])21()21()21()21[(31)()()2(,)21(3)21(322222121212122222121224114122122424232121311222223212nSSaNnSSaNnSSnSSSSSSnSSnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn为奇数为偶数由①和②得：满足上式，故又nnaNnaaSnnnnn,)21(34,)21(34*)(,)21(34111221211④③∵的关系再求解的关系转化为【解法二】先将)4(,)21(3)3(,)21(3,2211112naanaaaaSSaSnnnnnnnnnnnn)2(,)21(341])(1[92])21()21()21()21[(92])21()21()21[(925)2(),()(,413413,25123,1)4(,)21(9124122121125312532222422231221112nnaaaaaaaaSSaSanaannnnnnnnnn∵由③和④相减得：为奇数为偶数满足上式且满足上式且nnaanaaaaaaannnnnnnn,)21(34,)21(34.1)2(,)21(34])21()21()21[(91)()(.251112222421232131122),3(,)21(3,)1(),3(,)21(3)1()1()1(,)21(3),3(,)21(3.)2(),(01),2()(111111111211nbbabnaaaanaaSSnngbbpppnnfpaannnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn则令可得两边同时除以由”再用累加法“转化为形如”两边同时除以且用形如“【解法三】本题还可以以下用累加法求出数列{bn}的通项，再求数列{an}的通项以下省略，请同学们自己完成！【解法四】：本题也可以转化为等比数列,,)21(6,6])21([)21()3(,)21(311111nnnnnnnnnnnnbbabxxaxanaa则令由①②得②设①由解法三知（分段形式）的通项的通项再求数列应分别求出数列总结：可用“累加法”的相邻两项或或是和同时分成了数列分析：数列的通项？升华：如何求完成！下省略，请同学们自己从而